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Die Grenzen der Linien sind Punkte. Ein Punkt besitzt gar keine 

 Ausdehnung und kann daher nur gedacht werden. Ein mit dem Stift 

 auf dem Papier angezeigter Punkt stellt sich unter dem Vergrößerungs- 

 glase schon als ein kleiner materieller Körper dar, der nur die Stelle iDe- 

 zeichnet, wo sich der mathematische Punkt befinden soll. 



Körper, Flächen und Linien bezeichnet man als Raumgrößen. 



2. Die Entstehung der Raumgrößen durch Bewegung. 



Gleichwie wir im vorhergehenden, vom Körper ausgehend, die Be- 

 griffe: Fläche, Linie und Punkt feststellen konnten, so ist es auch um- 

 gekehrt möglich, vom Punkte ausgehend, sich der Reihenfolge nach Linien, 

 Flächen und Körper im geometrischen Sinne entstanden zu denken. 



Wenn sich ein Punkt im Räume fortbewegt, so bezeichnet der von 

 ihm zurückgelegte Weg eine Linie. Wir stellen uns dabei vor, daß von 

 dem sich bewegenden Punkte eine Spur zurückgelassen wird, welche als 

 die Bahn desselben zu betrachten ist. 



Durch die Bewegung einer Linie entsteht eine Fläche. Die Schneide 

 eines Messers hinterläßt eine Fläche, wenn man mit dem letzteren einen 

 Gegenstand, z. B. Brot durchschneidet. 



Bewegt sich endlich eine Fläche in einer anderen Richtung, als in 

 der ihrer Erweiterung fort, so entsteht ein Körper. 



3. Einteilung der Linien, Flächen und Körper. 



Man unterscheidet gerade und krumme Linien. Erstere, auch 

 kurzweg Gerade genannt, entstehen, wenn sich ein Punkt stets in der- 

 selben Richtung fortbewegt (Fig. 1, ab); letztere entstehen, wenn der 

 sich bewegende Punkt die Richtung der Bewegung beständig ändert (cd). 



Setzt sich eine Linie aus Geraden ver- 

 schiedener Richtung oder aus geraden und 

 krummen Linien zusammen, so bilden diese 

 Linien einen Linienzug {ef und <jh). 



Die Flächen werden als ebene und 

 krumme Flächen unterschieden. Wir sprechen 

 von einer ebenen Fläche oder einer Ebene, 

 wenn sich auf derselben durch jeden Punkt 

 nach allen Richtungen Gerade ziehen lassen; 

 im gegenteiligen Falle spricht man von einer 

 krummen Fläche. Eben ist die Oberfläche Fig. i. 



eines gewöhnlichen Spiegels, eine Tischplatte 

 u. dgl., krumm ist die Oberfläche einer Kugel, einer Walze usf. 



Die Körper teilt man in eckige und runde ein. Ein von lauter 

 Ebenen begrenzter Körper wird als eckiger, ein von lauter krummen 

 oder nur teilweise von ebenen Fläclion begrenzter Körper als runder 

 Körper bezeichnet; z. B.: Kugel, Walze, Kegel. 



4. Einteilung des Gegenstandes Geometrie. 



Die Geometrie wird in Planimetrie und Stereometrie eingeteilt. 



Die Planimetrie oder die Geometrie der Ebene ist die Lehre 

 von den Eigenschaften jener RaumgrcUJen, welche in einer und derselben 

 Ebene liegen; die Stereometrie oder die Geometrie des Raumes 

 beschäftigt sich mit denjenigen RaumgröUen, welche nur im dreifach 

 ausgedehnten Räume dargestellt werden können. 



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