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Das Dreieck ADC besteht also aus folgenden Winkeln: 



2E 



<;a = 



D 



-. Vergleicht man nun 



2Ji 2i? 



= <^ & — <^ e, daher < -^, und -^ C = -^ e -}- <^ c, somit > -y 



die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten, so zeigt es sich, daß dem größten Winkel 

 C die längste, dem kleinsten Winkel D die kürzeste und dem mittelgroßen Winkel A die 

 Seite von mittlerer Größe gegenüberliegt. Hieraus folgt: 



Der größeren Seite eines Dreieckes liegt der größere Winkel, und der 

 kleineren Seite der kleinere Winkel gegenüber. 



Aus diesem Grunde ist in einem rechtwinkligen Dreiecke die Hypotenuse die längste 

 Dreieckseite. 



bj Zieht man aus einem Punkte C, Fig. 45, auf die Gerade A B eine Senkrechte 

 CD und zugleich mehrere schiefe Strecken C-E, 

 (J F^ C G^ so entstehen die rechtwinkligen Drei- 

 ecke C D E, CDF und CDG. In diesen Dreiecken 

 ist die Kathete CD kürzer als jede der H)'pote- 

 nusen C E^ C F oder CG. Hieraus folgt: 



Die Senkrechte ist die kürzeste Linie, 

 die aus einem Punkte zu einer Geraden ge- 

 zogen werden kann. Die Senkrechte gibt den 

 Abstand eines Punktes von einer Geraden an. 



cj Wenn man die Halbierungspunkte der 

 Seiten eines Dreieckes mit den ihnen gegenüber- 

 liegenden Eckpunkten verbindet, so schneiden sich 

 diese drei Linien in einem Punkte. Dieser Punkt, 

 Fig. 46, O, heißt der Schwerpunkt des Dreieckes. 



dj Wählt man in einem Dreiecke der Reihe nach alle drei Seiten als Grundlinien 

 und errichtet man in jedem Falle die zugeliörige Höhe, so treffen sich die drei Höhen 

 ebenfalls in einem einzigen Punkte, Fig. 47, O. 



Fig. Ab. 



Fig. 46. 



e) Errichtet man in den Halbicrungspunkten der Seiten eines Dreieckes Senk- 

 rechte, so treffen diese in einem Punkte zusammen. Dieser Punkt, Fig. 48, 0, hat die 

 Eigenschaft, daß er von allen Eck- 

 punkten des Dreieckes gleichweit 

 absteht; man l^ann daher aus diesem 

 Punkte einen Kreis beschreiben, der 

 durch alle drei Eckpunkte des Drei- 

 eckes geht. 



fj Halbiert man die drei Winkel 

 eines Dreieckes, so treffen sich die 

 Halbierungslinien in einem Punkte, 

 Fig. 4y, 0. Dieser Punkt hat die 

 Eigenschaft, daß er von allen Seiten 

 des Dreieckes den gleichen Abstand 

 hat; man kann daher aus diesem 

 Punkte einen Kreis besclireiben, der 

 alle drei Seiten des Dreieckes berührt. 



Diese vier unter c ' d) rj und ./V erhaltenen Punkte nennt man die vier uu'rk- 

 würdigen Punkte des Dreieckes. Bei einem gleichseitigen Dreiecke fallen diese 

 4 Punkte alle in einen Punkt zusammen. Verbindet man diesen dann mit den drei Eck- 

 punkten, so zerfällt das gleichseitige Dreieck in drei kongruente Dreiecke, deren jede-* 

 gleich dem dritten Teile des ursprüngliclien Dreieckes ist. Der Beweis hiefür ist wohl 

 einleuchtend. 



Fig. 4^. 



