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Fig. 55. 



Hieraus folgt, daß EO=OG und HO=OF, oder in Worten: 



d) Die beiden Diagonalen in einem Parallelogramme hal- 

 bieren sich. 



Zieht man in einem Rhombus beide Diagonalen, so zerfällt der- 

 selbe ebenfalls in vier Dreiecke. Der Rhombus, Fig. 55, AB CD, besteht 

 aus den vier Dreiecken A -^ + A ^^ + A ^^^ + A 1^- 

 In den beiden Dreiecken I und II ist AD =^AB^ 

 als Seiten des Rhombus, dann AO = AO, 



als beiden Dreiecken gemeinschaftliche 

 Seite und endlich D 0= O B, 



denn in jedem Parallelogramme halbieren sich die 

 Diagonalen. 



Es ist somit l\I'^1\II. 

 Daraus folgt, daß 'r:a = <:h^U^) demnach AO \ DB, oder in 

 Worten : 



e) Die Diagonalen eines Rhombus stehen aufeinander 

 senkrecht. 



Zieht man in einem Rechtecke, Fig. 56, 

 K F G H, beide Diagonalen EG und F H, so ent- 

 stehen die beiden Dreiecke HEF und G F E, 

 In denselben ist EF beiden Dreiecken gemein- 

 sam, daher EF=EF. dann ist 

 HE=GF, als zwei gegenüberliegende Seiten 

 ^j , 5^; eines Parallelogrammes, und 



<ZE^'^F=E (Eigenschaft der Rechtecke). 

 Es ist somit /\IIE F^ /\ G FE. Daraus folgt, daß 



HF^^EG, oder in Worten: 

 f) Die beiden Diagonalen eines Rechteckes sind einander 

 gleich. 



Ziehen wir endlich auch in einem Quadrate die beiden Diagonalen 

 so finden wir, wie leicht einzusehen ist, daß dasselbe die Eigenschaften 

 des Rhombus und des Rechteckes in sich vereinigt, d. h. : 



<j I Die Diagonalen eines Quadrates sind einander gleich 

 und stehen aufeinander senkrecht. 



4. Lehrsätze vom Trapez. 



Zieht man in einem Trapeze, Fig. 57, AB CD, durch den Punkt C 

 eine Parallele C H zu .1 I> und aus der Mitte E der einen nichtparallelen 



Seite CB eine Parallele G H zu der zweiten 

 nichtparallelen Seite, so entstehen die beiden 

 Dreiecke C E H und GEB. In diesen Drei- 

 ecken ist C E= EB, weil die Seite CB 



halbiert wurde, dann 

 <Ca = <; 6, als Scheitelwinkel und 

 pj„ 57 -^C = -izB, als Wechselwinkel. 



Die beiden Dreiecke sind somit nach 

 dem I. Kongrueuzfalle kongruent, ^ C E H^ /\ GEB. 



Daraus folgt, daß EH=EG = \EG. 

 Zieht man nun auch durch die Mitte E die Linie EF AB, so muß 

 nach dem Satze: Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich, 

 auch EH=FD un&EG = FA sein. 



*) Sind zwei Nebenwinkel gleich, dann ist jeder ^ ^; vgl. § 5, Punkt 4. 



