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Da nun EH = EG, so ist auch FD = FA = \A1J. 



Weiters ist AB = AG ^ G B, 



und DC=DH — CH; durch Addition 



ergibt sich AB-^DC = AG ^ GB -^ DH — C E,*) 



oder AB-^DC=2FE und 



„„ AB + DC ^ . „, 

 FE= ^ , oder in Worten: 



Zieht man aus der Mitte der einen nichtparallelen Seite 

 eines Trapezes eine Parallele zu den beiden parallelen Seiten, 

 so halbiert diese die zweite nichtparallele Seite und ist gleich 

 der halben Summe der beiden parallelen Seiten. 



5. Bestimmungsstücke der Vierecke. 



Die Gestalt eines Dreieckes ist durch drei Seiten unzweideutig ge- 

 geben. Nicht so ist aber auch ein Viereck durch seine vier Seiten be- 

 stimmt. Ein einfacher Versuch, z. B. ein Viereck aus vier miteinander 

 verbundenen Stäben zusammenzusetzen, belehrt uns, daß wir durch Ver- 

 schiebung dieser Stäbe unzählig viele Vierecke erhalten können, daß 

 somit ein Viereck durch vier Seiten allein nicht bestimmt ist. Nehmen wir 

 aber zu diesen vier Seiten noch einen Winkel oder eine Diagonale als 

 bekannt an, so sehen wir, daß sich mit diesen fünf Stücken, welche 

 voneinander unabhängig sind, nur ein Viereck konstruieren läßt und 

 daß jedes andere, welches diese Bestandteile enthält, mit dem ersteren 

 kongruent sein muß. Daraus folgt: Ein Viereck ist durch fünf von- 

 einander unabhängige Stücke gegeben. 



6. Die Kongruenz der Vierecke. 



Zwei Vierecke sind kongruent, wenn sie in allen vier Seiten und 

 allen vier Winkeln in derselben Reihenfolge übereinstimmen. Diese Über- 

 einstimmung wird nach den Erläuterungen des Punktes ö schon er- 

 reicht, wenn zwei Vierecke fünf voneinender unabhängige Stücke gleich 

 haben. 



Dieser allgemeine Kongruenzsatz stellt sich für Parallelogramme 

 in viel einfacherer Form dar, wie die folgende Konstruktion zeigt: 



Es ist ein Parallelogramm zu konstruieren, wenn zwei anstoßende 

 Seiten und der ein":eschlüssene Winkel geofeben sind. 



FiS- 58. 



In einem Parallelogramme sind je zwei gegenüberliegende Winkel 

 gleich und je zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich. Da 

 überdies die Winkelsummo 1 R beträgt, so sind st)mit alle 4 Seiten und 

 Winkel gegeben. 



*) O Ji = C'// folgt aus der Kongruenz der beiden Dreiecke (' F. Jl und G KJi\ es ist 

 also .1 G -\- a D -{■ 1) II — a 11= A ö I D II. Nacli der Voraussetzung ist A D G //, somit 

 Ä G = D II ;^ F E und A d -1 7> 7/ = 2 /•' E. 



