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fj Eine gegebene Strecke AB \a. mehrere, z. B. 7 gleiche Teile, zu teilen. 



Man zieht aus dem Endpunkte Ä, Fig. 64, der Strecke AB einen Strahl Ax unter 

 einem beliebigen Winkel, trägt auf demselben einen beliebig großen Teil siebenmal 



auf, verbindet den letzten Teilstrich 7 mit -B und zieht 



zu dieser Linie B 7 durch alle 1 — 6 Teilstriche Parallele, 

 wodurch auch A B in 7 gleiche Teile geteilt wird. 



Der Beweis für die Richtigkeit dieser Teilung 

 läßt sich leicht erbringen. Zieht man aus den erhaltenen 

 Teilungspunkten /, //. /// usf. Parallele zu A .f, so 

 sind die entstandenen Dreiecke mit dem Dreiecke 

 All nach dem I. Kongruenzfalle kongruent. Es ist 

 Ia=12 (als Parallele zwischen Parallelen); 12 ist 

 aber gleich gemacht worden der Strecke A 1, somit 

 ist auch Al = Ia; dann ist <:-4^^c/und <: ^ = ^^' 



= -^ a (als Parallelwinkel). ^ A 1 1 ^ I II a '^ II III b usf. Folglich A I = I II 

 = 11111 usf. 



64. 



§ 8. Vielecke. 



1. Begriff und Bestandteile des Vieleckes. 



Eine von mehreren geraden Linien begrenzte ebene Fläche heißt ein 

 Vieleck oder Polygon. Je nachdem dasselbe 3, 4, 5, 6 oder mehr 

 Seiten hat, wird es als Dreieck, Viereck, Fünfeck, Sechseck usf. be- 

 zeichnet. Jedes Vieleck hat ebensoviele Seiten als Winkel oder Eck- 

 punkte. Die Winkel eines Vieleckes können spitze, rechte, stumpfe oder 

 auch erhabene sein. Die drei ersteren nennt man aus springen de, die 

 erhabenen dagegen einspringende Winkel des Vieleckes. 



Eine gerade Linie, welche zwei nicht an einer Seite liegende Eck- 

 punkte des Vieleckes verbindet, wird Diagonale genannt. Die Anzahl 

 der aus einem Eckpunkte eines Vieleckes möglichen Diagonalen beträgt 

 um 3 weniger, als die Anzahl der Seiten desselben, oder allgemein n — 3, 

 wenn n die Seitenanzahl des Vieleckes bedeutet. Zieht man die aus 

 einem Eckpunkte möglichen Diagonalen in einem Vielecke, so zerfällt 

 dasselbe in soviele Dreiecke, als das Polygon Seiten hat, weniger 2, 

 oder allgemein n — 2 Dreiecke, wenn n die Anzahl der Seiten des Viel- 

 eckes vorstellt. 



In dem Fünfecke ABCJ)E, Fig. G5, sind aus einem Punkte, z. B. 

 .1, 5 — 3 = 2 Diagonalen möglich; das Fünfeck wird dadurch in 3 

 (=5 — 2) Dreiecke geteilt. Es ist ABC DE = 

 =^l\I-\-l\Il-\-l\ II I. Die Summe der Innenwinkel 

 eines jeden Dreieckes beträgt 2 li; es ist somit die 

 Winkelsumme des Fünfeckes .1 B CJ>E=2 K -}- 



Die Anzahl der Dreiecke, in welche ein Viel- 

 eck durch die aus einem Eckpunkte desselben mög- 

 lichen Diagonalen zerfällt, läßt sich wie oben durch 

 die Formel n /\ — 2 /\ allgemein darstellen. Es ist 

 somit, wenn wir für ein Dreieck dessen Winkel- 

 summe (2 /»') einsetzen, auch die allgemeine Formel für die Winkelsumme 

 jedes Polygons durch n. 2R — 4 /i! gegeben, oder in Worten: 



In jedem Vielecke beträgt die Winkelsiimmo doppelt so- 

 viel Rechte als es Seiten hat, weniger 4 Rechten. 



Fig. 65. 



2. Eintoiluno- der Vielecke. 



Die Vielecke werden nach ihren Seilen oder Winkeln, oder nach 

 ihren Seiten und Winkeln eingeteilt und benannt. l']in Vieleck heiÜt: 



