132 — 



Es ist ^ÄBC=<:a-n-'^b 

 und ^AOC=<^e— </. 



<^ e^=<^a-i--=^clals Außenwinkel der Dreiecke AGB 



<v f=^h — '^dj und COB. 



Die beiden Dreiecke AGB und C G B sind aber gleichschenklig-. 

 AG = BG, und CG = BG (als Radien eines Kreises); folglich ist 



<^ ff = <; c 

 und <cd = <zb. 



Man kann daher für den Winkel c den Winkel a und für den Winkel (/ 

 den Winkel b einsetzen und erhält 



■irf^^^-kzb^^cb, oder 

 <: e = 2 . <^ a 

 <Cf=2.<:.b, und 



durch Addition ^ e t" ^/= 2 . -^a — 2 .-^b = 2 . {^a -\- -^b). 



Nach der Voraussetzung gibt -^ e -\- <^f den 

 Zentriwinkel A O C, und <ä:; a -j- <^6 den Peripherie- 

 winkel ABC; es ist daher 



< ^4 0C= 2.^.4 5 6', oder in Worten: 



Steht ein Zentri- und ein Peripherie- 

 winkel über demselben Bogen auf, so ist 

 der Zentriwinkel doppelt so groß als der 

 Peripheriewinkel über demselben Bogen, 

 oder der Peripheriewinkel ist gleich dem 

 halben Zentriwinkel, welcher über dem- 

 selben Bogen aufsteht. 

 Daraus folgt auch, daß ein Winkel im Halbkreise einen Rechten 

 beträgt, weil der zugehörige Zentriwinkel ein gestreckter ist. 



Fig. 85. 



4. Dem Kreise eingeschriebene und umschriebene Vielecke. 



Liegen alle Eckpunkte eines regelmäßigen Vieleckes im Umfange 

 eines Kreises, so bilden die Seiten des ersteren Sehnen des Kreises. Man 

 nennt ein solches Vieleck ein Sehnen vieleck; das Vieleck ist dem 



Kreise eingeschrieben, oder 

 der Kreis ist dem Vielecke 

 umschrieben. Fig. 86. 



Bilden dagegen die Seiten 

 des Vieleckes Taugeuten eines 

 Kreises, so daß alle Eckpunkte 

 des Vieleckes außerhalb dieses 

 Kreises liegen, so heißt das 

 Vieleck ein Tangenten Viel- 

 eck; dasselbe ist dem Kreise 

 umschrieben. oder der 

 Kreis ist dem Vielecke ein- 

 gesehrieben, Fig. 87. 

 Wir haben bereits im § 8, Punkt 4, hervorgehoben, daß der Mittel- 

 punkt eines regelmäßigen Vieleckes sowohl von allen Eckpunkten als 

 auch von allen Seiten des Vieleckes den gleichen Abstand hat. Beschreibt 

 man daher aus dem Mittelpunkte eines regelmäßigen Vieleckes einen 



Fig. 86. 



Fig. 87. 



