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bestimmte Anzahl von Dreiecken, welche durchaus dieselbe Gestalt wie 

 das ursprüngliche Dreieck besitzen, d. h. sowohl mit diesem als auch 

 untereinander ähnlich sind. In Fig. 98 ist z. B. A C in drei gleiche Teile 

 geteilt, und DF und EG parallel zu AB. Es ist also l\DFC ^ l\EGC 

 oo /\ABC. Vergleicht man diese ähnlichen Dreiecke in Bezug auf ihre 

 Bestandteile miteinander, z.B. l\DFC mit i\ABC, so zeigt sich, daß 

 alle drei Winkel wechselweise gleich sind: -^D = 'i:iA und <dcF=<C-ß 



als Gegenwinkel, und -^C = ^ C, weil derselbe 



beiden Dreiecken gemeinschaftlich ist. 



Das Verhältnis der Seiten D C und A C ist, 

 weil D C einen und A ( ' drei gleichgroße Teile 

 {DC) enthält, l : 3. Nachdem aber die Seite B C 

 durch die Parallellen DF und EG ebenfalls in drei 

 untereinander gleiche Teile geteilt wurde, so haben 

 auch die Seiten FC und BC dasselbe Verhältnis 

 1 : 3. Zieht man weiters noch E.J und DH parallel 

 zu BC^ so müssen, da BH^^FD, auch die Seiten 

 A B dasselbe Verhältnis 1 : :', besitzen. Es besteht somit die Pro- 

 portion DC:AC = FC:BC = nF: AB = 1:3, d. h. in ähnlichen Drei- 

 ecken sind die gleichliegenden Seiten proportional. 



Alles in allem ergeben sich nach dem Vorhergehenden folgende 

 Sätze: 



aj In ähnlichen Dreiecken sind die drei Winkel wechsel- 

 weise gleich und die gleichliegenden Seiten proportional. 



bj Zieht man in einem Dreiecke eine Parallele zu einer 

 Seite, so w^erden die beiden anderen Seiten proportional ge- 

 schnitten. 



c) Eine Gerade, welche zwei Seiten eines Dreieckes pro- 

 portional schneidet, geht parallel zur dritten Seite dieses Drei- 

 eckes. (Umkehrung von b.) 



2. Die Ähnlichkeitssätze bei Dreiecken. 



Nach dem Vorhergehenden sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn alle 

 Winkel wechselweise gleich und die gleichliegenden Seiten proportional 

 sind. Man kann aber auch schon aus dem Eintreffen nur einiger dieser 

 Bedingungen, ebenso wie bei der Kongruenz der Dreiecke, auf die Ähn- 

 lichkeit von Dreiecken schließen, wenn 

 man aus den gegebenen Voraussetzun- 

 gen auch das Vorhandensein der übrigen 

 Bedingungen erweisen kann. 



a) Je zwei Seiten A C und a c, 

 BC und bc (Fig. 99) sind proportional, 

 also A C : a c = B C : b c, und der von 

 ihnen eingeschlossene Winkel ist gleich. 

 Um unter dieser Voraussetzung 

 ^^s- ^^- nachzuweisen, daß /\ A B C c^ ^ a b c, 



muß man die wechselweise Gleichheit der anderen Winkel, sowie die 

 Proportionalität der dritten] Dreieckseiten, nämlich AC:a c=: A B : a b, 

 nachweisen. Zu diesem Behufe macht man DC^^ac und EC=^hc. Nun 

 ist (nach dem II. Kongruenzfalle) ^DEC^/\abc; man kann somit in 

 der ersten Proportion, A C : a c =^ B C : h c, für a c und b c die gleichen 

 Strecken FC und EC einsetzen und erhält A C : D C = B C : E C. Hier- 

 aus folgt, daß AC und BC durch die Gerade DE proportional ge- 



