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schnitten werden; somit ist DE AB, und demzufolge auch <: J. = ^Z> 

 und -^B^-XE (als Gegenwinkel). Da nun ^D EC^ l\ahc, so ist 

 auch 4:JL = <^a und <^B = <^b. Die beiden Dreiecke haben somit alle 

 drei Winkel gleich. 



Zum Nachweise der Proportionalität der dritten Seite zieht man 

 noch DF OB. Es ist dann nach S 13, Punkt 1 



ACiBC^AB-.FB. 

 Da nun als Parallele zwischen Parallelen FB = DE, so hat man 



AC:DC = AB:DE. 



Aus der Kongruenz der Dreiecke DEC und a h c folgt 



DE=ab, 

 wonach die Proportion besteht 



AC '.ac = AB '.ah, 

 d. h. es sind in den Dreiecken ABC und ahc neben der Gleichheit aller 

 Winkel auch die dritten Seiten proportional, daher ^ABCocii\ahc. 

 Daraus folgt: 



I. Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei 

 Seiten proportional sind und der von denselben eingeschlossene 

 Winkel in beiden Dreiecken gleich ist. 



h) Alle drei Winkel sind wechselweise gleich. Kann unter dieser 

 Voraussetzung die Proportionalität aller Seiten erwiesen werden, so sind 

 die Dreiecke ähnlich. 



Man macht, Fig. 99, DC = ac, EC = hc. Es ist dann ^DEC^ 

 ^ /\ab c nach dem IL Kongruenzsatze, und daraus 



^7^ = <^a, <^E = <:b. 

 Da nun nach der Voraussetzung 



^A = 'Y_a, </i = ^6, 

 so ist auch 



<i:Z) = <C^4, ^B = <i:E, 

 somit auch D E A B. Aus der Parallelität dieser Seiten folgt 



AC:DC = BC.EC, 

 oder, da D C =^ a c und E C =^b c, 



AC:ac = BC:bc. 



Die l)eiden Dreiecke ABC und (ibc haben nebst der eben erwiesenen 

 Proi)ortionalität zweier Seiten nach der Voraussetzung auch den ein- 

 geschlossenen Winkel {■^C='^c) gleich und sind somit nach dem 

 I. Ähnlichkeitssatze ähnlich, also /\ABC'^/\abc. Daraus folgt: 



II. Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie 

 alle drei Winkel wechselweise gleich haben, oder, da mit dem 

 Übereinstimmen zweier Winkel die dritten ohnehin gleich sind, zwei 

 Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei Winkel wechselweise 

 gleich haben. 



c) Alle drei Seiten (Fig. 99) sind proportional. Kann unter dieser 

 Voraussetzung die gleichzeitige Gleichheit der Winkel nachgewiesen werden, 

 so sind die Dreiecke ähnlich. 



Dieser Nachweis kann ähnlich wie unter (( ) und b) ooi'ührt werden, 

 wenn man J)C = ac und EC=bc macht und D F li < ' zieht. Man kann 

 hienach die Kongruenz der Dreiecke J)EC und a b v nachweisen und hat 

 dann -^A^-^a, -): />* ^rb, < C = ^i: c, also \ .1 HC >oi\a b <■. 

 Daraus folgt: 



