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III. Ähnlichkeitssatz. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die 

 Seiten des einen Dreieckes den Seiten des anderen propor- 

 tional sind. 



Von zwei rechtwinkligen Dreiecken kann man behaupten, daß 

 sie ähnlich sind, wenn sie in einem spitzen Winkel übereinstimmen. In 

 diesem Falle ist dann auch der zweite spitze Winkel gegeben und die 

 beiden Dreiecke stimmen wechselweise in allen drei Winkeln überein; sie 

 müssen somit nach dem IL Ähnlichkeitssatze ähnlich sein. 



3. Anwendungen von der Ähnlichkeit der Dreiecke. 



Fi<r. lou. 



a) Es sei in Fig. lOü /\ AB C ■'■^- /\a b c; es ist daher auch die 

 Proportion AB :ah = AC :a c richtig. Ferner seien A B und a h die 

 Grundlinien, dann CD und cd die Höhen dieser Dreiecke; es ist also 

 CD \ AB und cd \ ah, und deshalb auch <:D = '^d. Nach der Vor- 

 aussetzung ist aber auch -^ A =^ -^ a, 

 und somit nach dem II. Ähnlich- 

 keitssatze /\ADC^/\adc, daher 

 CD : c d^ A C :a c. Da aber nach der 

 Annahme A B : ah = A C : a c, so folgt 

 die weitere Proportion A B -.ah =^ 

 ^CD:cd, d. h.: In ähnlichen 

 Dreiecken verhalten sich die 

 Höhen wie die entsprechenden 

 Grundlinien. 



hj Mehrere gegebene Strecken nach einem gegebenen Ver- 

 hältnissse zu vergrößern oder zu verkleinern. 



Es seien z. B. die Strecken a und b, Fig. 101, nach dem Verhält- 

 nisse 3:4 zu vergrößern. Zu diesem Zwecke trage man auf einem 



beliebigen Strahle Ax zuerst drei, dann 

 vier gleiche Teile auf, beschreibe mit 

 dem Radius A S von A aus einen Bogen, 

 schneide diesen durch einen zweiten 

 Bogen mit dem Halbmesser A4 von 3 

 aus und ziehe den Strahl Ay. Es ist 

 dann der Winkel yA:v der sogenannte 

 Reduktionswinkel. Verbindet man 

 noch 3 mit B, so verhalten sich die 

 Strecken A 3 : 3 B = 3 : 4. Beschreibt 

 man hierauf mit der zu vergrößernden 

 Strecke a von A aus einen Bogen, der 

 beide Strahlen ^4 ./• und Ay trifft, so ist 

 die Verbindunuslinie der beiden Schnitt- 

 punkte CD die nach dem Verhältnisse 

 3:4 vergrößerte Strecke «; ebenso ist 

 EF die nach dem Verhältnisse 3:4 vergrößerte Strecke von b. 



Wären die gegebenen Strecken in dem Verhältnisse 4 : 3 zu ver- 

 kleinern, so müßte man bei der Konstruktion des Reduktionswinkels von 

 A aus mit dem Halbmesser A4 einen Bogen beschreiben und diesen mit 

 A 3 von 4 aus schneiden. 



c) Die Anwendung der Ähnlichkeit der Dreiecke bei der Kon- 

 struktion von sogenannten Transversalmaßstäben folgt im IH. Teile. 



Fiff. 101. 



