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Zusätze: 



1. Sind alle drei Seiten eines Dreieckes gegeben und bezeichnet 



man dieselben der Reihe nach mit a, b, c und die halbe Summe der- 



a -\- b -\- c 

 selben mit s, also s = , so berechnet man den Flächeninhalt dieses 



Dreieckes (was hie r allerdings noch nicht bewiesen werden kann) nach 

 der Formel F/^ = YsX (s — n) X (« — ö) X (*• — «)• 



Es ist also, wenn wir die Seiten des Dreieckes beispielsweise mit 



3^4-1-5 

 a := 3, = 4, c = cm annehmen, s = -——^ = 6; s — a = 6 — 3 = 3, 



s — b ^^ 6 — 4 ^== 2, 6- — c =: 6 — 5 = 1 und der Flächeninhalt dieses Drei- 

 eckes F=Y6 X 3 X 2 X 1 =V36 = 6 cnr-. 



2. Bei einem rechtwinkligen Dreiecke nimmt man gewöhnlich 

 die eine Kathete desselben als Grundlinie und die andere Kathete als 

 Höhe an. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes 

 berechnet sich danach als das halbe Produkt aus den beiden 

 Katheten. 



3. Nach § 7, 3, e) g) stehen die beiden Diagonalen eines Quadrates 

 oder eines Rhombus senkrecht aufeinander. Zerlegt man also ein Quadrat 

 oder einen Rhombus durch eine Diagonale in zwei Dreiecke, so ist diese 

 Diagonale die gemeinsame Grundlinie für beide Dreiacke, während die 

 Höhen dieser Dreiecke als die beiden Hälften der anderen Diagonale 

 erscheinen. Daraus folgt: 



Der Flächeninhalt eines Quadrates oder eines Rhombus 

 ist gleich dem halben Produkte aus den beiden Diagonalen. 



ij 21. Das Trapez. 



1. Der Umfang eines Trapezes wird erhalten, indem man die Maß- 

 zahlen der vier Seiten addiert. 



2. Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu bestimmen, kann man 

 sich dasselbe durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen, jedes Drei- 

 eck für sich berechnen und die gefundenen Resultate addieren. Nimmt 

 man jedoch die beiden Parallelseiten und die Höhe zwischen iliesen als 

 gegeben an, so läßt sich eine allgemeine 



Formel für die Fläche des Trapezes wie 

 ifolgt herleiten : 



Halbiert man in dem Trapeze ^4 B C ' D, 

 Fig. 110, eine der nicht parallelen Seiten, 

 B C, und verbindet man den Halbierungs- 

 punkt E mit 1> durch eine Gerade, deren 



Verlängerung die verlängerte eine Parallel- Kja no. 



Seite des Trapezes in /'' trifft, so entstehen 



hiedurch zwei kongruente Dreiecke. Da die Seite (' H halbiert wurde, ist 



CE^KIi, dann ist -^a^-^b als Scheitelwinkel und -^ (' = ^ A* als 



Wechselvvinkel. 



Es ist daher nach dem I. Kongruenzfalle /\ I> (' /v :^ _\ />' /•' K. 



Addiert man zu der sich selbst gleichen 



Fläche A H F. 1) ^ A li K />die kongruenten, 

 daher flächengleiehen Di-eieeke /\I)('F ~ \ /> i^/v, so müssen auch 



die Summen gleich sein, also .1 li E I) |- /\ I) C E -^ A II K I) )- \ />^ F K, 



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