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h) Verbindet man den Mittelpunkt eines regelmäßigen Vieleckes mit 

 allen Eckpunkten desselben, so entstehen, wie bereits in § 8, Punkt 3, 

 gezeigt wurde, soviele untereinander kongruente Dreiecke, als das Viel- 

 eck Seiten hat. Diese Dreiecke haben je eine Umfangsseite des Vieleckes 

 zur Grundlinie und den Abstand einer Umfangsseite vom Mittelpunkte 

 des Vieleckes zur Höhe. Der Flächeninhalt des ganzen regelmäßigen 

 Vieleckes setzt sich also zusammen aus den Flächen aller dieser Dreiecke. 

 Man wird somit die Fläche eines Dreieckes berechnen, die gefundene 

 Maßzahl mit der Anzahl der Dreiecke, d. i. mit der Seitenzahl des Viel- 

 eckes, multiplizieren und erhält so den Flächeninhalt des ganzen regel- 

 mäßigen Vieleckes. 



Bezeichnet 6- eine Seite, n die Anzahl der Seiten und a den Abstand 



einer Seite vom Mittelpunkte des Vieleckes, so ist s\~- die Fläche eines 

 Dreieckes und /i.s.— die Fläche des ganzen Vieleckes. Da aber n.s den 



Umfang vorstellt, so ist der Flächeninhalt des Vieleckes F=^ U. 



In 



zerfällt durch die 

 in 6 kongruente 



Worten: 



(ta) Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes wird 

 berechnet, indem man die Maßzahl des Umfanges mit der 

 halben Maßzahl des Abstandes einer Seite vom Mittelpunkte 

 multipliziert. 



Gestützt auf den Satz : Zwei Dreiecke mit gleichen Grundlinien und 

 gleichen Höhen sind flächengleich, § 20, Punkt 3, Seite 146, läßt sich 

 die vorstehende Regel auch noch wie folgt beweisen: 



Das regelmäßige Sechseck ABC DEF, Fig. 112, 

 Verbindung der Eckpunkte mit dem Mittelpunkte 

 Dreiecke. ABO^BCO^ 

 '^ C D O^DEO^ EFO^ 

 '^FäO. Der senkrechte 

 Abstand einer Seite vom 

 Mittelpunkte ist 1/0. Trägt 

 man auf die Verlängerungen 

 von AB die Seiten des 

 Vieleckes auf und verbindet 

 man weiters die Teilungs- 

 punkte mit 0, so entstehen 

 die Dreiecke L K 0, K A O, Fig. 112. 



ABO, B(iO, GBO, HJO. 



Diese Dreiecke sind mit den vorgenannten (j Dreiecken des Vieleckes 

 flächengleich, da sie alle untereinander gleiche Grundlinien und gleiche 

 Höhen (MO) haben. Es ist somit auch das ganze Polygon ABC DEF 

 flächengleich mit dem Dreiecke LJO. Die Grundlinie Ä J des Dreieckes 

 LJO ist aber dem Umfange des Vieleckes gleich, und die Höhe MO 

 entspricht dem Abstände einer Seite des Polygons vom Mittelpunkte des- 

 selben. Daraus folgt: 



l>/>) Jedes regelmäßige Vieleck läßt sich in ein flächen- 

 gleichos Dreieck verwandeln, das den Umfang dos Vieleckes 

 zur Grundlinie und den Abstand einer Seite vom Mittelpunkte 

 des Vieleckes zur Höhe hat. 



Der Abstand einer Vielockseite vom Mittelpunkte steht bei jedem 

 regelmäßiiren Vielecke zur Seite in einem ganz bestimmten Verhältnisse. 



