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^ 26. Der pythagoräische Lehrsatz. 



Errichtet 

 und ,1 C 



Es sei das Dreieck ABC, Fig. 120, bei ^4^ rechtwinklig, 

 man über der Hypotenuse B C und den beiden Katheten A B 

 die Quadrate B C D E, ABFG und 

 ACHJ, so läßt sich zeigen, daß das 

 Quadrat über der Hypotenuse gleich ist 

 der Summe der Quadrate über den 

 beiden Katheten. 



Fällt man aus den Endpunkten 

 D und E auf A B die Senkrechten I> K 

 und EL, weiters von (' und E die Senk- 

 rechten CM und EN, so sind die 

 hiedurch entstandenen rechtwinkligen 

 Dreiecke C M D, D NE, CA B und B L E 

 kongruent. Dieselben haben die Hypo- 

 tenuse, als Seite eines Quadrates und 

 die ihr anliegenden Winkel, deren 

 Schenkel entweder parallel sind oder 

 aufeinander senkrecht stehen, wechsel- 

 weise gleich. 



Es ist somit A CMD'^/\DNE^ 

 ^^l\CAB^^l\BLE. 



Addiert man zu dem sich selbst 

 gleichen Fünfecke 



B CMNE=BCMNE 

 die gleichen ^\xmmQ n/\C M D ^ ^s^D N E^ l\ CAB^^BLE, 



so müssen die dadurch entstehenden Summen auch gleich sein, somit 



BCMNE-{- A CMD^i\ DNE ^BCMNE-\- /\ C^5-f- A, BLE, 



daher auch B~cTJE = TcMN'EL. 



Das Sechseck ACM NE L besteht aber, wie aus der Figur zu er- 

 sehen ist, aus den beiden Quadraten ACMK und KNEL, welche ihrer- 

 seits wieder mit den beiden Quadraten ^1 C HJ \ni6.ABFG kongruent sind. 



Es ist sonach [JB C D E=[J^C HJ -^T] AB FG, 

 oder auch B C' = AC'-\-AB-', d. h.: 



In jedem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat über 

 der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den 

 beiden Katheten. 



Um den vorstehenden Satz durch eini^ kurze Formel ausdrücken 

 zu können, bezeichnet man a als die eine, b als die andere Kathete und 

 c als die Hypotenuse und hat c''^=^a'^ -{- b-. 



Dieser Lehrsatz wird nach seinem Erfinder, dem griechischen Mathe- 

 matiker Pythagoras, der pythagoräische Lehrsatz genannt. 



Mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes läÜt sich bei jedem recht- 

 winkligen Dreiecke aus zwei l)ekannten Seiten die dritte unbekannte leicht 

 mittels Rechnung finden. Es ist: 



1.) c2 

 und c 



a2 -f h'^ 



= Va^ 



m 



-\- h'-. una a 

 Die Herleitung der Formeln 2 

 der „Formellehre", Arithmetik, i^ h 



2.) g^ = c'^ — b\ 3.) ?)2 ges- 



und a = Yc' — &'-. und h ■—- Vc^ 



und 3 aus jener für 

 aonau 



(•2 = a-i + /)« 

 erklärt worden. 



ist 



