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Übung: 1.) Kleide die Formeln 2 und 3 ebenso wie 1 in Worte. 

 ■2.) a = 3m, 5 = 4 w, so ist c = y 3^ + 42 = K25^= 5 m; 

 c = 5 m, a = 3 m, so ist 6 = Yö- — 3- = ] 16 = 4 vi. 



§ 27. Konstruktionsaufgaben. 



1. Die Verwandlung der Figuren. 



Eine gegebene geradlinige Figur in eine andere verwandeln, heißt eine Figur 

 zeichnen, welche mit der ersten fläehengleich ist und überdies noch gewissen gegebenen 



Bedingungen entspricht. 



aj Ein ungleichseitiges schiefwinkliges 

 Dreieck ABC. Fig. 121, mit Beibehaltung der 

 Grundlinie (ä B) in ein gleichschenkliges oder 

 ein rechtwinkliges Dreieck zu verwandeln. 



aaj Man ziehe durch C eine Parallele za A B 

 {DE\\AB), errichte im Halbierungspunkte a der AB 

 auf A B die Senkrechte a F und verbinde F mit A 

 und B. Das Dreieck A B F ist gleichschenklig und 

 flächengleich mit dem Dreiecke A B C, denn es hat mit 

 diesem die Grundlinie und die Höhe gleich. 

 hbj Man ziehe durch C eine Parallele zu A B (DF^,AB) und errichte aus A auf 

 A B die Senkrechte /> A. Das Dreieck ABB ist rechtwinklig und flächengleich mit dem 

 Dreiecke ,1 B C, denn es hat mit diesem gleiche Grundlinie und 

 i,4eiche Höhe. 



/jj Ein gegebenes Dreieck ABC, Fig. 122, in ein 

 anderes mit einer bestimmten Höhe (h) zu verwandeln. 

 Man errichte in A auf .1 B die Senkrechte A L) = h, ziehe 

 durch L) eine Parallele zu ,1 B, bringe diese mit der Verlängerung 

 von .1 C in E zum Schnitt und verbinde E mit B. Sodann 

 zi he man durch C eine Parallele zu EB und verbinde F mit E. 

 AFE ist das gesuchte Dreieck, welches flächengleich ist mit 

 Fi er. 122. dL-m Dreiecke -l B C. 



Beweis: Nach der Konstruktion besteht das gegebene Dreieck aus 



A FG C-{- ^G FB. 

 und das gesuchte Dreieck aus A F G C -\- /\ C G E. 

 Da beide Dreiecke die Figur A F G C gemein haben, so sind sie gleich, 



wenn /\GFB = /sCGE. 

 Um diese Gleichheit zu erweisen, hat 

 man vorerst /\ C F B =z /\ CEE, 



weil beide Dreiecke dieselbe Grundlinie und 

 Höhe haben. Wird nun von beiden Dreiecken 

 das ihnen gemeinsame Z\ CFG abgezogen, — /\ CFG — /\ CFG, 



so bleibt 

 was zu beweisen war. 



Z^GFB = ^CGE, 



c Ein gegebenes Dreieck vi i?C, Fig. 123, in ein Rechteck zu verwandeln. 



Man ziehe durch den Halbierungspunkt a der Strecke AC eine Parallele zu AB 

 {b c II AB) und errichte in A und B auf AB Senkrechte, welche die Gerade ^' c in I) und E 

 treffen. A P, E D ist das gesuchte Rechteck. 



Fig. 123. 



Fig. 124. 



dj Ein gegebenes Rechteck AB C D, Fig. 124, soll unter Beibehaltung der 

 Grundlinie (AB) in ein Parallelogramm mit einem bestimmten Winkel (a) 

 an der Grundlinie verwandelt werden. 



