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Pyramide in zwei 



Fig. 159. 



Schneidet man das dreiseitige Prisma ABC DE F, Fig. 159, durch 

 die Ebene ABF, welche durch die Grundkante AB und die Ecke F 

 hindurchgeht, so entsteht eine dreiseitige Pyramide AB C F und eine 

 vierseitige Pyramide AB ED F. Führt man sodann durch die Diagonale 

 DB der Grundfläche und durch die Ecke F der letzteren Pyramide 

 eine Schnittebene DBF, so zerfällt die vierseitige 

 dreiseitige PjTamiden. Das ganze Prisma AB C DEF 

 wurde somit in die drei dreiseitigen Pyramiden 

 A B C F, DEFB und DBAF zerlegt, von welchen 

 sich leicht beweisen läßt, daß sie untereinander alle 

 gleich groß sind und auch gleiche Grundflächen und 

 Höhen besitzen. 



Die Grundflächen ABC und DEF, sowie die 

 Höhen CF und BE der Pyramiden ABCF und 

 DEFB sind als Grundflächen, beziehungsweise als 

 Seitenkanten des Prisma gleich; es ist somit die 

 PjT-amide ABCF=dev Pyramide DEFB. Betrachtet 

 man nun die beiden Pyramiden D B E F und DBAF, 

 so ist einleuchtend, daß sowohl deren Grundflächen 

 DBF und DBA als Hälften des Rechteckes Ä B ED, 

 sowie auch die aus dem Scheitel F auf die Grund- 

 flächen gezogenen Höhen für beide Pyramiden gleich 

 sein müssen, daher auch Pyramide DBEF^Fyra- 

 mide D B A F. Da nun die zweite P3''ramide sowohl der ersten als auch 

 der dritten gleich ist, muß auch die dritte gleich sein der ersten. 

 Daraus folgt: 



Jede dreiseitige Pyramide entspricht dem dritten Teile eines drei- 

 seitigen Prisma von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. 



Der Kubikinhalt eines Prisma wird berechnet als Produkt aus Grund- 

 fläche und Höhe; es ist sonach der Kubikinhalt 

 einer dreiseitigen Pyramide gleich dem Produkte 

 aus der Grundfläche und dem dritten Teile der 



Höhe. Allgemein 6' = ^.—, wenn g die Grund- 



ö 



fläche und h die Höhe einer dreiseitigen Pyramide 

 bedeutet. 



Jede mehrseitige P3a*amide läßt sich in eine 

 bestimmte Anzahl dreiseitiger Pyramiden zerlegen, 

 welche untereinander alle gleiche Höhen haben. 

 Es besteht beispielsweise die sechsseitige Pyramide 

 in Fig. 160 aus vier dreiseitigen Pyramiden, welche 

 wir der Reihe nach mit /^,, P^.., /'';( und I\ be- 

 zeichnen wollen. Es ist somit der Kubikinhalt der 

 ganzen sechsseitigen Pyramide C = Fi -]- P^ + 

 -j- I\ -\- ]\. Substituiert man in dieser Formel 

 für den Rauminhalt jeder der dreiseitigen Pyramiden den entsprechenden 



h , h 



HUt. 



Wert, so ist 



//i 



4-//2- .> + 



; wird nun der gonieiu- 



same Faktor— „herausgehoben", so folgt: 



die Grundfläche 



(] der 



h 



3 

 ganzen 



Der Ausdruck in der Klannner stellt aber 



sechsseitigen Pyrnniide vor 



ist sonnt: 



12* 



