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§ 38. Die regelmäßigen Körper. 



a) Ein regelmäßiger Körper ist von lauter gleichgroßen Flächen be- 

 grenzt. Die Oberfläche eines regelmäßigen Körpers wird daher be- 

 rechnet, indem man die Maßzahl des Flächeninhaltes einer Begrenzungs- 

 fläche mit der Anzahl derselben multipliziert. 



Beispiel: Die Kante eines Tetraeders mißt 5 cm; wie groß ist seine 

 Oberfläche? 



Die Oberfläche besteht aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken. 



Die Fläche eines solchen Dreieckes ist nach § 23, 1 , b, bb = —^ ' — ^ — = 



= 108262 cm2. Die Oberfläche des Tetraeders ist somit 10-8262X4 = 

 = 43-305 cm2, 



h) In einem jeden regelmäßigen Körper gibt es einen Punkt, welcher 

 von allen Begrenzungsflächen gleichweit absteht. Dieser Punkt heißt der 

 Mittelpunkt. Denkt man sich den Mittelpunkt mit allen Ecken des 

 Körpers verbunden und durch je zwei aufeinanderfolgende Verbindungs- 

 linien eine Ebene gelegt, so zerfällt der regelmäßige Körper in so viele 

 gerade Pyramiden, als Begrenzungsflächen vorhanden sind. Eine jede 

 dieser Pyramiden hat eine Begrenzungsfläche des Körpers zur Grund- 

 fläche und den Abstand des Mittelpunktes von einer Begrenzungsfläche 

 zur Höhe. Hieraus folgt: 



Der Kubikinhalt eines regelmäßigen Körpers wird berech- 

 net, indem man seine Oberfläche mit dem dritten Teile des 

 Abstandes des Mittelpunktes von einer Begrenzungsfläche 

 multipliziert. Allgemein ist: 



C ^^ O .^, wenn Ü den Kubikinhalt, die Oberfläche und a den 



Abstand des Mittelpunktes von einer Begrenzungsfläche bedeutet. 



Um den Abstand des Mittelpunktes von einer Begrenzungsfläche 

 zu erhalten, multipliziert man die Maßzahl einer Kante des Körpers 

 bei einem Tetraeder mit 0-2041, Oktaeder mit 0-408-2, Ikosaeder mit 

 0-7558, Hexaeder mit 0.5000, Dodekaeder mit 11135. 



Beispiel: Wie groß ist der Kubikinhalt des vorangeführten Te- 

 traeders? 



a = 5 cwiX 0-2041 = 1-0-205 cm; 0=43-305 ««2 



C = 0.^ = 43-305 X ^^~= 14-731 cm^ 



ij 39. Der Zylinder (die Walze). 



<i) Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus den beiden Grund- 

 flächen (Kreise) und aus einer gekrümmton Fläche, der Mantelfläche. 



Bei einem geraden Zylinder stellt sich die Mantelfläche, wenn man 

 dieselbe in einer Ebene ausbreitet, als Rechteck dar, welches den Umfang 

 einer Grundfläche des Zylinders zur Länge und die n()Iie des Zylinders 

 zur Breite (Höhe) hat. 



Die Oberfläche eines Zylinders wird somit berechnet, in- 

 dem man zur doi)pelten Flächenmaßzaiil einer Grundfläche die 

 Maßzahl der Mantelfläche addiert. Die Mantelfläche eines ge- 

 raden Zylinders entspricht dem Produkte aus der Maßzahl des 

 Umfanges der Grundfläche mit der Maßzahl der Höhe des Zj'- 

 linders. 



