VOL. LXIX.] PHILOSOPHICAL TKANSACTIONS. 489 



tion free from radicals be 37'" + ' — (2n + l) b''apx" — " ^" ''" - x {2n + 1) b"- • 



X (2« + ,)i^-3«>^-3 - "^"^-'^ig;:;^^;;;;^^'^"-^'^^ x (2. + o'^'l^^- 



_ _ «(«'-l).("'-4).(«^-9).(»'-l6).[«'-(«-2)^1x(2«-l ) y .-^, , .. , ,„_, 



1. 2.3.4.5.6.7.8.9.... (2«-l) -^ ^^" "r ^'' "°" 



pa^ = a^+'p + /)"+'/?'. 



This may be derived from the same principles as the preceding. 



3. (3d) In general, let the equation he x = a'^^^p + Z»X//J^ then will the 

 equation free from radicals become x"' — ma"" - ^bpx — m . ^^^^ a"'~'^b^px^ — m . 



01—4 m — 5 „_fi;3. 3 »! — 5 ?«— 6 m— 7 ,„ o,.^ . m— 6 m— 7 wj— 8 



. a^^b px^ — m . — -— . . a'" " ^b^bx^ — m . . ■ . — - . 



23 ^ 234 ^ 234 



'!LZ^a'"-'°b^px^ — &c. = a"'p ± b"'p-; if m denotes an even number, it will be 

 — Z;™/)^, but if an odd number, it will be + b^p-. 



4. (1st) Let n denote an odd number, and x = a^p + b'^p^; then will 



n — ll „ ,,,4 8 I M— 11 K-12 n— 13 «-14 „_,,,^ ^ , n— 13 re-14 n— 15 



4' 2 3 4 5 ' 2 34 



„,fi ,.1 , 7i — 15 n — 16 n— 17 n—l% 



"-^Wx^- + n . -- . -- . _- . -^ 



"—1 n+l ^ n -9 " + 3 



« — 16 n— 17 „ ,o,g ].i , « — 15 n — 16 n— 17 w— 18 n— 19 «-20 , ,,,, ,. 



+ &c.) ±p^(«a ' Z- ^ ^^ - ^. X n . -^ . -^ a * i * .r* + -, X n.-^ . ^ . 



"- '5 " + < n — ii 



«— 11 7i— 13 2,25 I ^ »— 9 «— 11 n— 13 n— 15 n— 17 n-19 — - 



___.__« b ^ - 5a X n . -^- . -5- . — - . — - . — g- . — - a 



n + 7 n-zy n-(-9 



,— . , 1 n— U H— 13 n— 15 n- 17 n — 19 n— 21 n — 23 n-25 ~T~ ,~^ 



b ^' +57Xn.— -.— 3- . — -.— -.-g-.— -.— -.-^a 6- 



x^ — &c.) = a"/) + Z^y. 



The quantity + p" denotes + p^ if — — is a whole number, otherwise -- p^. 



4. (2d) Let n denote an even number, and x as before = al^p + b^p^; 

 then will ^" — p {nW-^bx'' + ?? . ^-=^ a''~^^x* + w • ^— •• '-^ a'-g/iV -|- jj . 



n— 9 n-10 »— 11 „ ,,,4 8 , n—ll n — 12 «— 13 n — 14 „-,cli 10 i o \ , 



—^ . -Y- • -J- a-''b'x + n . — - . —^ . -^- . -— a" 'ib'x'° + &c.) + 



n — 6 n-\-z n - iz " + 4 



, - n-4 ~r,~r .2 1 s^ ^ "-^ " — 8 " — 10 ~T',~r'^4 , l ^^ n-S 



/'M4-«--y-« * * - i^Xw.-^ . -^.-5— a Z> X + -Xn.-j~. 



11-18 n + 6 



„_10 «— 12 n— U 71- 16 2 ,"T" 6 ^ V „ "—10 "—'2 «— 14 «— 16 n—i8 



-T- ' ~J' • ~5~ • -r " ^ "" ~2' ^"•'2--~T--~i---i---6- 



n-24B + 8 "" 



1Z32. . ^^ a'^Z~^* + &c.) = a"p + b^ ± 2a~by. 

 7 S 



VOL. XIV. 3 R 



