SECTION 16. DEFINITE, EXACT, AND MATHEMATICAL PROCEDURE. 131 



Our second citation is from a paper in a volume entitled De 

 la methode dans les sciences, 1910, contributed by M. J. Tannery, 

 Membre de PInstitut. The importance of the subject must justify 

 our rather lengthy quotation: 



"Comme toutes les autres sciences, les mathematiques se sont deve- 

 loppees par 1'accroissement des verites particulieres, d'une part, et, de 

 1'autre, par 1'acquisition d'idges et de theories de plus en plus generates. 

 Tous les grands geometres ont eu, a la fois, le gout du particulier et du 

 general, des faits precis et des vastes speculations; quelques-uns, peut- 

 etre, preferaient regarder d'un cote on de 1'autre. Mais le progres dans 

 un sens s'est toujours mele au progres dans 1'autre ; d'une part, la con- 

 naissance d'une loi generate permet d'atteindre plus de faits particuliers ; 

 d'autre part, la generalite d'un raisonnement, d'une methode, apparait 

 mieux sur un fait particulier que sur un autre. 



"Dire que tout accroissement d'une science resulte de Fetat de cette 

 science, au moment oil se produit cet accroissement, c'est faire une affirma- 

 tion bien banale, mais a laquelle on ne donne pas assez d'attention, quand 

 il s'agit des mathematiques, d'autant que toute proposition decouverte est 

 rattachee aux axiomes par cela meme qu'elle est demontree, et qu'il 

 semble qu'on aurait pu aussi bien la deduire des axiomes, n'importe 

 quand: cela semble a ceux qui regardent la science faite, non la science 

 qui se fait. 



'"En vain', dit Galois 1 , 'les analystes voudraient-ils se le dissimuler: 

 ils ne deduisent pas, ils combinent, ils comparent; quand ils arrivent a 

 la verite, c'est en heurtant de cote et d'autre qu'ils y sont tombes. . . ." 

 (Ibid., pp. 62-63.) 



"Dans les diverses sciences, la matiere et les instruments different, la 

 marche de 1'invention est la meme. Memes essais, memes tatonnements, 

 meme patience active et tendue, pour ainsi dire, vers un objet qui s'eclaire 

 parfois, memes espoirs trompes, meme finesse et meme imagination 

 pour saisir les analogies, les liens caches, les rapports inattendus. . . . Au 

 mathematicien, quand il a trouve une loi, on demande plus qu'au physi- 

 cien ; sans doute, celui-ci souhaite rattacher sa loi a une theorie generale ; 

 mais le mathematicien doit la demontrer; la proposition n'est vraiment 

 acquise, et certaine, que lorsqu'elle a ete rattachee aux axiomes. II est 

 fort remarquable qu'on ait donne le nom ^'induction a 1'un des precedes 

 de demonstration, qui consiste a decouvrir dans Fenonce une necessite 

 interne telle qu'il ne peut etre vrai quelquefois sans Fetre toujours: les 

 experiences ou on Fa trouve vrai suffisent a 1'entiere certitude. II y a 

 de tres beaux exemples de ce mode de demonstration. 



"Sans doute, ce n'est pas toujours d'une fagon directe que 1'on applique 

 la methode experimentale en mathematiques. II reste vrai que la science 

 acquise, telle qu'il la possede, fournit au mathematicien une matiere et 

 des instruments tres puissants d'observation et de transformation. Que 

 de calculs numeriques auraient ete impossibles sans un instrument aussi 

 merveilleux que la numeration decimale! Que de ressources apportent 

 les methodes de calcul algebrique, de calcul integral, les transformations 

 geometriques! Que de moyens pour rapprocher Finconnu du connu, pour 

 eclairer Fun au moyen de 1'autre, pour changer une verite en une autre, pour 

 reconnaitre Fidentite de propositions qui semblaient, tout d'abord, ne pas 

 appartenir au meme domaine! Et ces moyens s'accroissent d'annee en 

 annee, se perfectionnent, deviennent plus aises a manier, se compliquent, 

 permettent d'atteindre plus loin. 



"La matiere a ouvrer ne manque pas et ne manquera jamais. 



"On peut faire des progres utiles, parfois importants, en cherchant a 

 mieux connaitre ce qui est deja connu, en appliquant des methodes connues 



1 Manuscrits et papiers inedits de Galois. (Bulletin des sciences mathe- 

 matiques, 2 e serie, t. XXX, p. 260.) 



