Q.ucteletsches Gesetz. e^S 



mehr auf, da sie nach den verschiedensten Richtungen erfolgen^ und es tritt 

 den konstanten Ursachen entsprechend ein konstantes Resultat zutage. 



QUETELET (Anthropomctrie ou mes. d. diff. facult. de Thomme [1871]) 

 hat das Gesetz von den großen Zahlen dahin ergänzt, daß nicht nur das 

 Mittel der Variation in der großen Zahl der Beobachtungen konstant bleibt, 

 sondern auch die vom »Mittel abweichenden Werte« (die den »causes acci- 

 dentelles« entspringen) gesetzmäßig auftreten. 



Stellt man die überhaupt vorkommenden Größen als die Abszissen, die Häufig- 

 keit ihres Auftretens durch die Ordinalen eines rechtwinkligen Koordinatensystems 

 dar, so geben die Endpunkte der Ordinalen, wenn man sie verbindet, eine Kurve 

 konstanten Verlaufes. Und zwar stimmen sämtliche Kurven, solange die Va- 

 riationen um ein einzelnes Merkmal schwanken (einfache Kurven Quetelet's), 

 mit den binominalen Wahrscheinlichkeitskurven Newton's und Pascal's. 

 Man erhält diese Kurven, wenn man das Binom ^) [a -{- d)" für die verschiedenen 

 Werte von n entwickelt, dann je nach der Natur des Problems d = i, a= i 

 oder a = m setzt und die einzelnen Elemente der so erhaltenen Zahlenreihe in 

 gleichen Entfernungen senkrecht auf eine Abszisse aufträgt (für a = b erhält 

 man symmetrische, für a ■= vib unsymmetrische Kurven). Für a; = ^ = i werden 

 z. B. die betreffenden Elemente der Formel 



[a-^bY = a'^^nan-^b^''^''-'K'^-H^-^.n ^"-'^ ^^^'^^ ,>^-3^3 + . . . 



1-2 I • 2 • 3 



I + I =2 



I + 2+I =2^ 



I +3 +3 + I = 2^ 



I+4 + 6 + 4+I = 2' 



1 + 5 + 10-1-10 + 5+1 = 2^ 



K) + («J + (//J + (;/3) + («„) = 2« 

 Das Element für den Mittelwert (Gipfelwert der Kurve) bei paariger Anzahl 

 von Einzelwerten wird 



T= 



n (;/— i) (;/— 2) " " ' (7 + ^ 



1 -2 -3 -4 



ti 



2 



Ist also die Zahl der Einzelbeobachtungen (die große Zahl) 2" = N^ so 

 kommen auf die Größe mittlerer Eigenschaft T beobachtete Einzelfälle (T'-Ordi- 

 nate des Gipfels der Kurve), während für die Nachbargrößen die Häufigkeit des 

 Vorkommens im Verhältnis der dem Mittelwert benachbarten Binomialkoeffizienten 

 abnimmt. Die Kurve für 2 ^^= i + 18 + 153 + 816 + 3060 + 8568 + 18564 

 + 31824 + 43758 + 48620 + 43758+ • • + 153 + 18+ I = 262144 setzt 

 also z.B. eigentlich N= 262144 Einzelbeobachtungen voraus, von denen auf 

 das mittlere Merkmal T= 48620 fallen (Gipfel der QuETELEx'schen Kurve), 

 während die Häufigkeit der benachbarten Vorkommnisse durch die Ordinalen 

 vom Verhältnis 43758:31824 usw. ausgedrückt wird. (7".) 



1) Bekanntlich dient das NEWTONsche Binom [a -\- />)"■ zur F.erechnung der Aussichten, aus 

 einer Urne mit weißen und schwarzen IJällen eine beliebige Kombination herauszugreifen. Ist 

 (/ die Wahrscheinlichkeit, einen schwarzen, /' die, einen weißen Ball zu greifen, so ist bei ein- 

 maliger Wiederholung die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der schwarze Ball rmal gegriffen 

 wird, nra"—''lj>'\ die Zahl der überhaupt möglichen Fälle (« + /']" = [^/o) a" + (wi) ö"—'/' + 

 {»■2)a'^—^b'^-\-..{nr]a"-^l)^-[-...{n,i]l>" usw. Dies liegt der Anwendung auf die Variabilität 

 zugrunde. (Vgl, Näheres bei Qietf.let, Anthropometrie usw.) (Nach Ludwig.) 



