44 III- Die mathematischen Grundlagen. 



a ist das erste Glied der Reihe 



aq das zweite usw., aq^—^ das n*^ Glied. 



Das letzte Glied 1 einer solchen Reihe ist demnach: l = a.q"~i 

 oder wenn wir a = r und q = 10 p setzen, wie dies der Gepflogen- 

 heit bei den forstlichen Rentenrechnungen entspricht, so ist: 



l = rrOp'^-i 10. 



"==ro-p^^ ^^^ 



l-Op^-i = — '.12. 



r 



Sind in einer geometrischen Reihe das erste Glied a, der 

 Quotient q und die Anzahl n der Glieder bekannt, so kann man mit 

 Hilfe dieser drei Größen die Summe der Reihe bestimmen. Bezeichnen 

 wir die Summe mit S, so ist: 



S = a -j- aq + aq^ -{- aq^ -f- aq''-^; 



diese Gleichung mit q multipliziert gibt: 



S q = aq -}- aq2 -f- aq^ -|- aq^ + aq°; 



subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, so erhält man 

 die Summenformel für die steigende endliche Reihe: 



Sq — S = aq° — a 



.S(q-l).-a(q--l) 



g_^(q--l^ ^^3^ 



q— 1 



Wird dagegen die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert, 

 so erhält man die Summenformel für die fallende endliche Reihe: 



S — Sq = a — aq'^ 



S(l-q) = a(l-q») 



g_^(l-^ ^^ 



1 — q 



Setzt man in der Formel 14, die Größe n = oo, so wird q^ = 

 und man erhält die Summenformel für die fallende unendliche Reihe: 



g_a(l-q-) 



1-q 

 1-q 1-q 



S^^<^-^"1 = ^^......... ..15. 



