Formeln der Zinsesiinsrechnung. 45 



1. Immerwährende Jahresrenten. 



Sie entsprechen den jährlich am Jahresschlüsse erfolgenden 

 und gleichbleibenden Einnahmen oder Ausgaben. Da man diese 

 Renten (r) als die jährlichen Zinsen eines feststehenden Kapitales 

 ansehen kann, so besteht das Verhältnis: 



K:r = 100:p 



K = -100= r jg 



p 0*0 p 



Man bezeichnet diese Formel als Kapitalisierungsformel und aus 

 derselben unmittelbar hervorgehend, als Rentierungsformel: 



r = KO-Op 17. 



Zu dem gleichen Ergebnisse gelangt man auch, wenn man in 

 Formel 15 für a = r und für q = l-Op setzt: 



K 



1 — rop 0-0 p" 



Der Beweis kann auch auf folgende Weise erbracht werden: 

 Der Jetztwert aller am Ende eines Jahres fälligen oder nach- 

 schüssigen Renten ist nach Formel 3 



T^_ ^ I ^ 1 ^^ I oo- 



i-Op~^iop2"^rop3^ ' 



da wir es mit einer fallenden, unendlichen Reihe zu tun haben, in 

 welcher a = p^, q=j^ und 8 = 3-^, so ist 



K = 



r r 



TO^ 1-0 p r 



1 — 1-Op 10p — 1 0-0 p 

 1-0 p 



Hätten wir es mit vorschüssigen, oder am Beginne des Jahres 

 eingehenden Renten zu tun, so wäre der Summenwert: 



K = ^i^ 18. 



00p 



da aus der einfachen Überlegung folgt, daß die am Anfang 

 des Jahres eingehende Rente r am Ende des Jahres den Wert von 

 r.lOp erlangt, im übrigen aber die Formeln für die nachschüssigen 

 Renten beibehalten werden können.. 



