GEOMETRIA ANALYTICA. 151 



Dividindo ambos os membros da precedente equacao por 

 ^, e fazendo nella as devidas substitutes; vira 



(19) & =*' Cos. a+y 1 Cos. b-\-z' Cos. c. 



Os angulos [a, b, t], considerados corao constantes nesta 

 equacao, servera para determinar a posicao da recta /\, era 

 relacao aos tres eixos coordenados : e dada por outra parte 

 a grandeza de /\, o piano perpendicular a esta recta, pas- 

 sando pela sua extremidade, ficara determinado de posicao, 

 em relacao aos tres pianos coordenados ; e comprehendera 

 na sua extensao indeflnida qualquer dos pontos represen- 

 tados pelas coordenadas variaveis (a;',y\ z'). & neste sentido 

 que se diz que a equacao (19) representa um piano no 

 espaco. 



Observando que as coordenadas [x f , y 1 , z') representam, 

 na precedente equacao, as projeccoes da recta /\ ( sobre os 

 tres eixos coordenados ; e que, por outra parte, as expressoes 

 [x' Cos. a), [\f Cos. b), [z 1 Cos. c) expriraem as projeccoes de 

 (x', y', z') respectivaraente sobre a recta /±; e sendo ao 

 mesrno tempo /\ projeccao de £* > pode traduzir-se a 

 equacao (19) em um bello e importante theorema de geo- 

 metria, cujo enuneiado e o seguinte : 



Dadas duas rectas, sendo uma deltas de grandeza finita, que 

 passem pela origem de tres eixos orthogonaes, as tres projeccoes 

 da linha recta finita sobre estes eixos, sendo projectadas nova- 

 mente sobre a outra recta determinant ahi outras tres projeccoes, 

 cuja somma 6 equivalente d projeccao directa da primeira sobre 

 a segunda. 



Se a recta /\ for dada em direccao e grandeza pelas suas 

 projeccSes sobre dous dos tres pianos coordenados, os 

 angulos [a, b, c) serSo determinados pelas formulas (12) 

 art. 11, sendo expressos nas duas tangenles [A, B), que 

 aquellas projeccoes forma m respeclivamente com o eixo dos 

 (r): e determinada assim a posicao e grandeza de ^\, o 

 piano que passar pela extremidade (m) desta recta, e por 



