GEOMETRIA ANALYTICA. 163 



Considerando as quatro areas expressas em quantidades 

 numericas, esta equacao exprime urn bello resultado, sus- 

 ceptivel de urn enunciado analytico; a saber: que o quadrado 

 da area projectada sobre os tres pianos coordenados 6 igual a 

 somma dos quadrados das suas tres projecgoes . 



E bem notavel que este raesmo resultado possa dedu- 

 zir-se immediatamente das equacoes (30) e (31), relativa- 

 menle ao triangulo, sem a dependencia dos cosenos, que 

 dao na precedente investigacao a relacao entre a area pro- 

 jectada e a sua projeccao, sobre cada um dos tres pianos 

 coordenados ; como se vai mostrar. 



Pondo no segundo membro da equacao (30), em logar de 

 cJ 2 <? /2 ), o seu equivalents a saber [rf+if) [x' 2 -\-y' 2 ); vira 



W 2 Sen. 2 W' = [xy> — x< yf 



Extrahindo a raiz quadrada de ambos os membros desta 

 equacao, e dividindo-os por 2; ter-se-ha 



M Sen. W x y> — x f y 

 (35) 2 = 2 



Substituindo semelhantemente , na equacao (31) , em 

 logar de (A 2 A' 2 ). ° seu equivalent, a saber [x 2 -\-y 2 -\-z 2 ) 

 (ac' 2 -t-y' a -f-«' 2 ); e dividindo por 4 ambos os membros da 

 equacao ; vira 



V — <t:'iA 2 trr,2) — .x'z\ 2 



ioax A 2 A' 2 Sen. 2 W /xy>-x'y\\ f xz'-x'z ^ 



(36) — l -^ — 2~~j + r~i ) 



Exprimindo o primeiro membro desta equacao o quadrado 

 da area do triangulo dado no espaco , e cada um dos tres 

 termos, que formam o segundo membro, a respecliva pro- 

 jeccao dessa area nos pianos dos (as, y), dos (x, z) t dos (y, z), 

 como se mostra pela equacao (35): fica assim demonstrada 



