GEOMETRIA ANALTTICA. 165 



da sua projeccao (W 1 ): a segunda (37 bis) resolve o inesmo 

 problema, ernpregando, em logar dos angulos (c, c'), os seus 

 complementos (>., X'); isto e, os angulos formados pelos lados 

 do angulo (W) com as respectivas projeceQes no piano 

 de [W). 



Qualquerdestas equacoes, considerada como uma formula 

 especial, sera sempre preferivel a equacao (29), nas appli- 

 cacoespara que uma ou outra dessas formulas eapropriada. 



Designandopor (W"), (W ,n ) asprojeccoes do angulo (W) 



sobre os pianos dos (x, z), e dos (y, z), e fazendo applicacao 



da formula (37) a cada um dos tres pianos coordenados , 

 vira 



CCt)S. y Sen. W = Sen. W Sen. c Sen. c' 



(38) hos. § Sen. W = Sen. W" Sen. b Sen. b' 



(Cos. a Sen. W ' = Sen. W<" Sen. a Sen. a' 



Elevando ao quadrado ambos os termos de cada uma 

 destas equacoes, e fazendo a somraa dellas, pondo a 

 unidade em logar de (Cos. 2 y-\-Cos. 2 C-\-Cos. 2 a) ; ter-se-ha 



(38 bis) Sen,' W=Sen. 2 W< Sen? c Sen. 2 c' 

 -\-Scn. 2 W" Sen. 2 b Sen. 2 b< -{-Sen. 2 W" Sen. 2 a Sen. 2 a' 



Dividindo ambos os membros da equacao (36) por (A 2 A' 2 )> 

 e fazendo ahi as devidas substituicoes, ter-se-ha uma nova 

 expressao de [Sen. 2 W), a qual pode ser de utilidade em 

 alguns casos; a saber 



(39) Sen. 2 W=[Cos. a Cos. b'—Cos. a' Cos. bf+[Cos. a Cos. c' 

 — Cos. a' Cos. c) 2 +(Cos. b Cos. c'—Cos. V Cos. cf 



Substituindo nn equacao (26), e nas duas outras analogas, 

 expressas nos cosenos de (6), e de (a), em logar do deno- 

 minador do segundo membro, o sen equivalente [Sen. 2 W]', 

 ter-se-ha 



