ESTUDOS DE ANALYSE MATHEMATICA. 195 



Os prececlentes resiiltados (azem reconhecer: i", que qual- 

 quer que seja o expoente (inteiro e posillvo) do binomio 

 (1-j-^), oprimeiro termo da serie, que representa o seu des- 

 envolvimento, e sempre a unidade ; T, que a quantidade(.i), 

 seguiido termo do binomio , entra em todos os outros termos 

 da serie , elevada a potencias , que crescem na ordem dos 

 numeros naturaes (1,2,3, etc.) ; 3° , que o numero dos ter- 

 mos que compoem a serie e determinado pelo expoente do 

 binomio , augmentado dc mais uma unidade ; 4° , que os 

 coefficientes numericos (|ue alfectam as diversas potencias 

 de (x), no desenvolvimento da serie, sao inteiramente inde- 

 pendentes de (.r) , e variam sumente em relacao ao expoente 

 do binomio. 



Mediante estes dados , iteduzidos dos resultados (M) , co- 

 nhecidos em casos particulares, e applicandoo principio da 

 induGQao , poder-se-ba represenlar o desenvolvimento de 

 (1 + xy , em toda a sua generalidadc , do modo segninte : 



(1 -I- X) - = [-{- Ax + Rr^-f Cx^ -\- &c. 



As quanlidades iudeterminadas (.1 , B , C , etc. ) , que 

 entram no segundo membro desta eqnarao, represenlam os 

 coefficientes numericos que mnUiplicam as diversas potencias 

 de (x). 



Devendo a serie acima salisfazer aos casos particulares 

 (i¥) , e evidente : que na expressao numerica de cada urn 

 dos coelTicienles indeterminados U , B, C, elo enlrara em 

 geral um factor (m) , afnn de que , na bypotbese de m = a , 

 todos OS termos da serie se desvanecam, excepto oprimeiro : 

 que, semelbanlcmente, os coelTicientes indeterminados (B , 

 C , etc.), deverao em geral lerpor factor a quantidade(m—l), 

 aiim de que , na bypotbese de iii=i , todos os termos da 

 serie se desvanecam , excepto os dous primeiros : que, assim 

 lambem, os coefiicienles indeteruiinados (C, etc.) deverao ter 



