DE ADRIEN-MARIE LEGENDRE. LXXVH 



dantes d'un ordre supérieur. Transformant ensuite ce résidu 

 au moyen des fonctions circulaires, il le réduit à une forme 

 d'une merveilleuse simplicité ne renfermant que cinq quan- 

 tités : un arc de cercle désigné sous le nom d'amplitude, 

 nul au point où commence l'intégrale et se développant 

 à mesure qu'elle s'étend ; un module toujours réel et plus 

 petit que l'unité qui, dans le cas oii il s'agit d'une ellipse, 

 en représente l'excentricité ; un paramètre d'une grandeur 

 quelconque, positif ou négatif, pouvant se réduire à zéro, 

 mais auquel il serait inutile d'attribuer des valeurs ima- 

 ginaires; enfin deux coefficients dont les valeurs indépen- 

 dantes de tout le reste peuvent être quelconques pourvu 

 qu'elles ne soient pas nulles simultanément. L'amplitude est 

 la variable par rapport à laquelle se fait l'intégration, elle 

 n'est nulle qu'au point de départ de l'intégrale. Le module 

 ne peut être nul sans que l'expression soit complètement 

 dénaturée, mais les trois autres quantités peuvent être nulles 

 indépendamment les unes des autres, ou remplir dans leurs 

 rapports de grandeurs certaines conditions d'après les- 

 quelles les transcendantes elliptiques se divisent en trois 

 classes. 



La seconde classe est la seule qui représente des arcs d'el- 

 lipse. 



La première classe est une transcendante plus simple (pie 

 les arcs d'ellipse; on peut l'exprimer elle-même au moyen de 

 pareils arcs, mais on ne peut exprimer un arc d'ellipse par 

 des transcendantes de cette première classe. 



La troisième classe, au contraire, la seule dans laquelle le 

 paramètre n'est pas nul, est plus composée que les arcs 

 d'ellipse. 



