r.XXVUI ÉLOGE HISTORIQUE 



La gradation qui existe dans la complexité de ces trois 

 classes de transcendantes se manifeste notamment par cette 

 circonstance, que les transcendantes de la première espèce 

 peuvent se réunir par addition et soustraction de manière à 

 former une somme constamment nulle. 



Les transcendantes de la seconde espèce peuvent se réunir 

 de même, de manière à former une somme dont la valeur 

 s'exprime en termes purement algél)riques, comme la célèbre 

 intégrale d'Euler rappelée précédemment. 



Enfin, les transcendantes de la troisième espèce peuvent 

 encore se réunir pour former une somme dont la valeur, 

 sans être nulle, ni même algébrique, est cependant encore 

 d'une nature plus simple que chacune des premières en par- 

 ticulier, car elle peut s'exprimer par des arcs de cercle et des 

 logarithmes, qui sont les transcendantes les plus simf)les. 



Ces différences et plusieurs autres qui existent entre les 

 trois espèces de transcendantes elliptiques suffisent pour 

 motiver la division établie par M. Legendre; mais elles 

 laissent en même temps apercevoir entre toutes ces transcen- 

 dantes une analogie profonde qui justifie leur réunion sous 

 une même dénomination. 



La première et la seconde espèce peuvent être exprimées 

 par des arcs d'ellipse; la troisième est la plus composée, mais 

 elle a tant d'analogie avec les deux autres qu'on peut les re- 

 garder toutes trois comme ne formant qu'un même ordre 

 de transcendantes, le premier après les arcs de cercle et les 

 logarithmes. 



Ainsi, dit ailleurs M. Legendre, la dénomination de fonc- 

 tion elliptique est impropre à quelques égards; mais nous 

 l'adoptons néanmoins à cause de la grande analogie qu'on 



