286 MÉTHODE DES MAXIMA ET MINIMA DE FERMAT 



les X des points communs seront donnés par l'équation 



(3) F(a-, V^s" — -v- -+- tn'x — jr^) = o 



qui aura pour solution l'abscisse du point M, et un certain 

 nombre d'autres, dont l'une sera d'autant plus voisine de 

 celle-ci que N sera plus près du pied de la normale. Expri- 

 mant donc que l'équation (3) a deux racines égales à l'abs- 

 cisse du point donné, on aura entre s et v une équation qui 

 déterminera le pied de la normale , en y joignant l'équa- 

 tion (i) s'il est nécessaire. Descartes réduit d'abord l'équa- 

 tion (3) à être entière et rationnelle ; ce qui ne suppose nul- 

 lement que l'équation (i) puisse être résolue par rapport à 

 une des deux variables, ou à une de ses puissances; et alors 

 se présente la question suivante que nous considérerons d'a- 

 bord indépendamment des circonstances particulières du 

 problème actuel : étant donnée une équation de degré quel- 

 conque 



(4) x"' + oj:'" - ' + bx'" - " + tx + u =z o, 



trouver la relation que doivent avoir entre eux les coeffi- 

 cients des diverses puissances de x pour qu'elle ait deux ra- 

 cines égales. 



C'est pour résoudre cette question que Descartes a ima- 

 giné la méthode des coefficients indéterminés, dont il a fait 

 plus tard d'autres applications. 



A cet effet, il identifie le premier membre de l'équa- 

 tion (4) au produit du carré d'un binôme x— a par un poly- 

 nôme de degré m — 2, dont les coefficients sont indéterminés 

 comme a, et au nombre de m — 2. Il obtient ainsi m équations, 

 en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les 

 deux polynômes. Si de ces m équations on éliminait les m — i 



