ET DES TANGENTES DE FERMAT ET DESCARTES. 287 



indéterminées, on aurait la condition générale pour l'égalité 



de deux racines de l'équation (4). 



Mais dans la question actuelle où ces deux racines doivent 



être égales à l'abscisse donnée du point M, il n'est pas néces- 

 saire d'ehm.ner « qui est connu, et l'on a deux équations 

 entre s,^, et l'abscisse «; et l'on pourrait se borner à une 

 seule, puisque l'on a déjà l'équation (2) entre s, v et les deux 

 coordonnées connues de M. Cette dernière équation pouvant 

 toujours être résolue par rapport k s ou v, on parvient tou- 

 jours a une équation à une seule inconnue -v ou s; et c'est à 

 sa résolution qu'est ramené le problème géométrique des tan- 

 gentes. 



(1 Remarque. Le calcul de Descartes serait simplifié en 

 observant que si l'équation (3) a des racines égales, elles doi- 

 vent satisfaire en même temps à cette équation et à celle 

 qu'on obtient en égalant à zéro sa dérivée, ce qui donne 

 (5) wa^ - ' 4- (,„ __ ,y/^"' - - + (,„ _ 2)3^.- - = .... + t = o. 

 Or dans la question actuelle la valeur de œ est donnée- 

 les deux équations (3) et (4) feront donc connaître s et v, 

 au moyen de 1'^ du point donné. On pourrait encore faire 

 usage de l'équation (2) avec (5) pour éliminer une des incon- 

 nues ^ ou 7;; mais alors on introduirait Vx et l'j du point 

 donné. 



(.12) Parmi les exemples traités par Descartes, nous choi- 

 sirons le plus simple. Soit l'équation des sections coniques 



r'' = rx — Cj:». 



remplaçant j par ]ys'—v'+-2vx-x\on obtient 



? — 



