ET DES TANGENTES DE FERMAT ET DESCAKTES. 289 



l'équation (3) deviendra 



\ys' - {V — x)- = f{x\ 



ou y(x)' + {v ~ xf — s' = o. 



Prenant la dérivée par rapport à x en regardant s et v 



comme des constantes, on obtiendra l'équation 



/(•^)/'W — {v — x) = o, 

 qui exprimera que la précédente a deux racines égales, et 

 déterminera v, et par suite le pied de la normale. On en 

 tirera v — ,r =fix) f (x); ce qui est, en effet, l'expression 

 générale de la sous-normale. 



Prenons maintenant pour la courbe l'équation (i), la plus 

 générale possible , 



et admettons les principes actuellement connus des déri- 

 vées. Car nous n'avons pour but que d'étudier la méthode 

 par laquelle Descartes ramène le problème géométrique des 

 tangentes à des problèmes d'algèbre ; cette méthode devait 

 naturellement devenir d'une application plus facile et plus 

 générale par les progrès de l'analyse; et pour la comparer 

 avec celles des modernes, il est évident qu'il faut mettre à 

 son service toutes les ressources de calcul que l'on possède 

 aujourd'hui. 



Cela posé, revenons à l'équation (2) qui doit donner les 

 abscisses des points de rencontre de la courbe et du cercle, 

 en regardant s et v comme constants ; mais pour plus de 

 simplicité, laissons-lui la forme (i) en entendant que j^ y re- 

 présente la fonction d'x, l^j' — (qj — x)'-, pour exprimer 

 qu'elle a deux racines égales, il faut égaler à zéro la dérivée 

 par rapport à o; de la fonction composée F{x, y). En em- 

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