3oO MÉTHODE DES MAXIMA ET MINIMA DE FERMAT 



tion rigoureusement exacte, et qui coïncide avec l'équation 

 approchée (7) de Fermât: on la rendra entière et rationnelle, 

 après quoi on supprimera les termes indépendants de e, qu! 

 se détruiront tous; puis on divisera par la puissance de .' 

 commune à tous les termes, et 1 on aura encore une équation 

 exacte qui donnerait pour les valeurs d'à;, les abscisses de, 

 points de rencontre. 



Si maintenant on veut que les deux abscisses qui diffèrent 

 de e deviennent égales, c'est-à-dire que les deux points N, N' 

 se confondent, il faudra supposer e = o; ce qui donnera une 

 équation entre x et a, dans laquelle x sera l'abscisse donnée 

 du point M, avec lequel les points NN' sont venus coïncider, 

 et a, la valeur TH que prend TI (|uand N est venu en M, 

 c'est-à-dire la valeur de la sous-tangente. 



Si l'on suppose que F [x + e) puisse se développer, et que 

 l'on ait 



F{x H- e) = Ae 4- Be' + 



l'équation ci-dessus deviendra 



(a -h e)"" F(x) = a»> F(.r) 4- Ae + Be' + , = (a'" + ma""- e + ....) ^j;), 



ou, en supprimant les termes communs, 



a'"(Ae + Hé' ) = ma"' ~ ' F(x)e + ; 



divisant par e, puis faisant e = o, on trouve en supprimant 

 le facteur commun «""*: 



ûA =: mF{x); d ou a =1 — T^-^; 



ce qui est la formule de la sous-tangente d'après l'équation 

 donnée. 



On peut remarquer que si c'était le point T qui fût donné 

 et non le point de contact, x serait inconnu, a serait égal à 



