ET DES TANGENTES DE FERMAT ET DESCARTES. OOl 



X — AT, et AT serait connu. Le désignant par a, l'équation 

 trouvée entre a et x subsisterait toujours et deviendrait 



mF(a:) 

 A 



Il s'agirait alors de déduire a de cette équation à une seule 



inconnue. 



(20) On voit que Descartes, comme illeditlui-même, nes'est 

 |)oint occupé de chercher la plus grande , mais seulement 

 d'exprimer que les trois points T, N, N' sont en ligne droite, 

 et qu'ensuite les abscisses des deux points N, N' de la courbe 

 deviennent égales (*). Cette nouvelle méthode des tangentes, 

 qui n'est nullement celle de Fermât perfectionnée, est indé- 

 pendante de la forme de l'équation de la courbe et se ré- 

 sume ainsi : 



Exprimer que x et y satisfont à cette équation, ainsi que 



X -k- e et y -\ ; c'est-à-dire , si on part de l'équation 



¥{x,y) = o, écrire les deux équations simultanées 



F{x, j) = o, f(x + e, r + ^'^ = o. (8) 



Développer la seconde et la simplifier d'après la première, 

 qui fera disparaître les termes indépendants de e; puis divi- 

 ser par e et faire ensuite e = o ; l'équation en a ainsi obte- 

 nue déterminera la sous-tangente au moyen de l'a; et Vy du 

 point de contact. 



(*) Descartes aurait pu parvenir à cette méthode en exprimant que le 



NI r 



rapport -p^^ ou = — 7-= devient maximum ou minimum, au pomt M, comme 



J 1 X — Al 



cela est évident ; mais il n'y a pas songé : s'il l'avait fait, il se serait placé pré- 

 cisément au point de vue auquel Montucla et M. Lefort ont pensé que 

 Fermât s'était placé. 



