324 METHODE DES MAXIMA ET MINIMA DE FERMAT 



O aux deux points A et M, dont le dernier se confondait 

 avec le point connu N, pour e = o. Il suffit donc de faire 

 e = o dans l'équation (a) pour avoir une équation entre les 

 distances de O aux deux points connus A et N ; ce qui le dé- 

 terminait complètement. On trouve ainsi, en remarquant que 

 ON est h — n, 



, au' a , ,, X ib 



6 — « = -TT = -, aOU a ^= —■. 



26' 2 i 



Mais ON en devenante — «poure = o, n'est ni un maxi- 

 mum ni un minimum, et ce n'était pas le lieu d'y appliquer 

 cette théorie. Aussi ne l'applique-t-il pas, quoi qu il en dise, 

 puisqu'il n'égale pas deux valeurs d'une même fonction, re- 

 latives à deux valeurs infiniment voisines, de la variable dont 

 elle dépend. 



Si Fermât avait fait son calcul en jjrenant la valeur de OM 

 débarrassée du facteur commun e, et qu'il eût alors posé 



, fl(è' — %be 4- e') 



26' — be 



d'où il aurait tiré, en chassant le dénominateur, 



•xV — 3ai' + (3a6 — b')e — ae' = o, 



il aurait vu que les termes indépendants de e ne se détrui- 

 saient pas d'eux-mêmes comme dans les questions de maxi- 

 mum, où l'équation est de la forme F(a;) = ¥{x + e), et il en 

 aurait conclu sans doute que cette théorie n'était pour rien 

 dans la question actuelle. Il est probable qu'il eût été plus 

 loin, et qu'il aurait conclu, comme nous l'avons fait, queOM 

 devenait tout simplement égala b — a poure = o, ce qui lui 

 donnait immédiatement la valeur de a. Il est malheureux 

 que le grand désir d'appliquer sa méthode des maxima et 

 minima l'ait conduit à commettre l'une des deux erreurs que 



