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lions des sphéroïdes. La propriété dont il s'agit consiste en ce que cer- 

 taines fonctions dont on fait usage dans cette théorie se reproduisent 

 d'elles-mêmes après une triple intégration effectuée d'une manière conve- 

 nable. M. Poisson en donne une démonstration synthétique fort simple, 

 puis il ajoute qu'il serait au moins très difficile de parvenir par l'analyse 

 aux mêmes résultats. Cette assertion de l'illustre auteur tient sans doute 

 à ce qu'il n'a pas écrit explicitement les fonctions <p, (p', (p*, y" qu'il consi- 

 dère, sous la forme d'intégrales triples qu'elles possèdent naturellement. 

 Il aurait vu alors que pour démontrer ses quatre formules, dont les pre- 

 miers membres contiennent des intégrales sextuples, il suffit d'intervertir 

 l'ordre des intégrations. 



» Je suppose que le lecteur ait sous les yeux l'article cité , et pour fixer 

 les idées je considère la quatrième formule 



/(^> y> z) pr' sin SdrdSd^ = /if (a, b, c) , 



J aJ o J 



dont je désigne par U le premier membre. Par la définition même de la 

 fonction f, on a 



f, . _ rrr e'd^^dfdz' 



/■(x, y, z) -JJJ ^______^^^^^^^_.^, 



x',y, z', étant.Ies coordonnées d'un élément quelconque f)'dx'dj'dz' de la 

 masse du sphéroïde. En posant 



'<l p^ p-iv: pr' sin BdrtBd^ 



J ' oj o 



j/(x _ x'Y + (J- —yr+ (z — z'y 



on trouve immédiatement 



U — fffiif'dnfdjdz'. 



a Or, si l'on admet avec M. Poisson que la quantité (x — x')' -f- (/ — yy 

 + (z — z')' ne peut jamais s'évanouir, et si de plus on a égard aux valeurs 

 de x,y, z, les méthodes connues donnent 



{/(a — x'r •+■ (6 - yr + (c — zy 



Il vient par suite 



U = ^ rrr '''^''^''' 



J JJ \/{a — x'Y + {b- yy + (c — z'y 

 c'est-à-dire 



U = fcf(a, b, c), 



ce qu'il fallait démontrer. 



