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 (Ire ce but, consiste à représenter l'intégrale demandée par la somme d'un 

 nombre infini d'intégrales particulières qui vérifient toutes les conditions 

 données, excepté celles relatives à l'état initial. Chacune des intégrales 

 particulières dont nous parlons doit satisfaire à une équation différentielle 

 ordinaire facile à trouver, et dans laquelle entre un paramètre variable de 

 l'une à l'autre. On a donc à résoudre deux questions bien distinctes, puis- 

 qu'il faut discuter d'abord l'équation différentielle à laquelle sont succes- 

 sivement soumises les intégrales particulières dont l'ensemble compose la 

 valeur générale cherchée , puis traiter à son tour cette expression générale 

 et déterminer les constantes arbitraires qu'elle contient encore, de manière 

 à remplir les conditions définies négligées en premier lieu. Ces deux ques- 

 tions feront l'objet du présent Mémoire, où je les ai considérées sous un 

 point de vue purement analytique, abstraction faite de leur application à 

 tel ou tel problème. 



» La théorie des équations différentielles est encore peu avancée mal- 

 gré les nombreux travaux dont elle a été l'objet. Une équation linéaire à 

 coefficients constants ou variables étant donnée , on peut toujours , il est 

 vrai, en trouver l'intégrale exprimée par une série convergente; mais cette 

 intégrale suffit rarement pour découvrir les propriétés et la marche de la 

 fonction que l'équation différentielle détermine. En considérant la fonction 

 dont nous parlons comme l'ordonnée d'une courbe , et prenant pour abs- 

 cisse la variable indépendante , il sera le plus souvent très difficile de re- 

 connaître si, dans un intervalle donné, cette courbe coupe une ou plu- 

 sieurs fois l'axe des abscisses, si elle touche sans le couper, si elle a enfin 

 des points de maximum ou de minimum, ou des points d'inflexion. « Ce- 

 » pendant, la connaissance de ces propriétés renferme celle des circons- 

 » tances les plus remarquables que peuvent offrir les nombreux phéno- 

 » mènes physiques ou dynamiques auxquels se rapportent les équations 

 » différentielles dont il s'agit. » Une intégrale qui nous laisse ignorer ces 

 propriétés intéressantes est d'une utilité bornée. Elle ne dispense nulle- 

 ment d'étudier en elle-même l'équation différentielle qui est plus simple et 

 plus traitable. C'est en nous livrant à cette dernière étude que nous pou- 

 vons espérer d'arriver à des résultats précis et à des théorèmes généraux. 

 La remarque que nous venons de faire serait vraie encore, lors même que 

 l'on parviendrait à obtenir sous forme finie l'intégrale de l'équation diffé- 

 rentielle dont on s'occupe. C'est ainsi que la découverte d'une formule 

 algébrique et générale propre à représenter les racines des équations 

 déterminées n'ôterait rien à l'utilité des méthodes d'approximation qui 



