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fournissent les valeurs numériques de ces racines, et des propositions re- 

 marquables dont l'ensemble forme ce qu'on nomme aujourd'hui la théorie 

 des équations. 



« L'idée si simple d'étudier en elles-mêmes les équations différentielles 

 que l'on rencontre dans chaque question, au lieu de s'attacher imiquement 

 à la recherche de leur intégrale, a dû se présenter aux géomètres dès l'o- 

 rigine du calcul différentiel. Mais dans ces derniers temps elle a été surtout 

 développée par M. Sturm qui, dans son beau Mémoire sur la théorie des 

 équations différentielles linéaires du second ordre (*\ en a tiré le parti le 

 plus avantageux. 11 y considère l'équation 



dans laquelle L, M, N sont des fonctions de jt, et par une méthode très 

 élégante il trouve successivement toutes les propriétés dont jouit la fonc- 

 tion V qui satisfait à cette équation. Ces propriétés sont analogues 

 à celles des sinus ou des exponentielles. La même théorie fournit les 

 moyens de calculer les racines de certaines équations transcendantes qui 

 se présentent en analyse lorsqu'on veut par exemple déterminer les lois 

 du mouvement de la chaleur dans une barre hétérogène. 



« Le principe sur lequel reposent, dit M. Sturm, les théorèmes que je 

 )> développe, n'a jamais, si je ne me trompe, été employé en analyse, et il 

 » ne me paraît pas susceptible de s'étendre à d'autres équations diffé- 

 )) rentielles. » 



» L'auteur a eu raison, je crois, de n'énoncer qu'avec réserve cette 

 dernière assertion. Il me serait facile en effet de prouver an contraire, 

 et je prouverai dans un autre article, que la méthode de M. Sturm peut 

 être employée utilement dans la théorie des équations différent ici les du 

 troisième ordre et d'ordre supérieur. Néanmoins, je dois l'avouer, cette 

 extension offre des difficultés qui ne m'ont pas permis de l'opérer d'une 

 manière tout-à-fait générale. Sans renoncer à l'espoir fondé de voir un 

 jour renverser ces obstacles, qui ne seront point sans doute insurmonta- 

 tables ( surtout si M. Sturm reprend , pour la perfectionner et l'étendre à 

 de nouvelles questions, une méthode qui dans ses mains s'est déjà mon- 

 trée si féconde } , j'ai donc eu recours à d'autres principes possédant le 

 double avantage d'une extrême simplicité et d'une généralité très grande. 

 Ces principes s'appliquent en effet à des équations différentielles linéaires 



{*) Tome V du Journal dp Mathématiques, page 106. 



