(,.i5) 

 d'un ordre quelconque, pourvu toutefois que les conditions définies à 

 l'aide desquelles on détermine les constantes arbitraires implicitement 

 contenues dans les intégrales de nos équations différentielles aient une 

 forme convenable. 



» Dans ce premier Mémoire, je me borne à considérer les équations 

 différentielles linéaires d'un ordre quelconque fj., qui peuvent se mettre 

 sous la forme 



d.)kdX...dMd.lAd\} 



+ rU = o, 



dx^" 



R, T.,. . .M, N étant des fonctions pôsftives de x, et r un paramétre indé- 

 pendant de cette variable. De plus j'admets que pour une valeur particu- 

 lière X de J7, les quantités 



y N^ Mrf.N^ Krf.L....^.NrfU 



sont égales à des constantes positives. Ces conditions laissent encore le 

 paramètre r indéterminé. Mais on déterminera ce paramètre à l'aide d'une 

 nouvelle équation , si l'on exige par exemple que U se réduise à zéro pour 

 une certaine valeur X de x, X étant > x. 



» Je prouve que les racines de l'équation transcendante dont le para- 

 mètre r dépend alors sont en nombre infini, toutes réelles, positives et 

 inégales. Chacune d'elles donne naissance à une fonction particulière U. 

 La première de ces fonctions, celle qui répond à la plus petite racine, 

 conserve constamment le même signe lorsque x croît depuis x jusqu'à X. 

 Celle qui répond à la ti""" racine s'évanouit et change de signe (n — i ) 

 fois dans le même intervalle. Deux de ces fonctions correspondantes à deux 

 racmes consécutives changent toujours de signe l'inie après l'autre alterna- 

 tivement; celle qui répond à la plus grande racine s'évanouit la première 

 à partir de x =x. En un mot on retrouve ici, comme dans l'équahon du 

 second ordre traitée par M. Sturm , des propriétés analogues à celles des 

 sinus d'arcs multiples d'une même variable. 



» Dans un Mémoire présenté à l'Académie le 3o novembre i835 et im- 

 primé tome I" du Journal de Mathématiques , page 253, j'ai montré, je 

 crois, le premier, quelle liaison intime existe entre les propriétés des inté- 

 grales des équations linéaires du second ordre et le développement des 

 fonctions en séries. On verra clairement dans ce nouveau Mémoire que les 

 théorèmes auxquels je suis parvenu subsistent quel que soit l'ordre des 

 équations différentielles que l'on considère. C'est le résultat principal que 



