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diminuant toujours. Mais cette conféquence eft abfurde j 

 car les nombres entiers ne vont pas à l'infini en defcen- 

 dant , puifqu'ils commencent par l'unité , & s'y termi- 

 nent ; & par conféquent il eft impoffible que l'aire d'un 

 Triangle Redangle primitif ,foit un nombre quarré. Il 

 a été auffi prouve par la conféquence de la propofition 

 3 i=. Qiie fi l'aire d'un primitif n'eft pas un nombre quar- 

 ré j celle de fon multiple ne fera pas auffi un quarré. Donc 

 il n'y a aucun triangle , &.c. Ce qu'il falloit prouver. 



PROPOSITION XL. 



// ny a aucun Triangle ReHangle en nombres dont l'aire 

 fait un double quarré. 



HEMONSTRATION. 



SI un triangle primitif avoit un double quarré pour fon 

 aire , il faudroit que chacun de fes moindres cotez supp. n. 

 tut un nombre quarré , afin que la moitié de leur produit 

 qui eft l'aire du triangle , fût un double quarré : mais cha- 

 cun de ces cotez ne peut être un quarré : car le côté im- 

 pair étant un quarré, les nombres générateurs de ce trian- prop. 5*. 

 gle feroient l'un rhypotenufej&. l'autre le côté pair d'un 

 deuxième triangle primitif moindre que le premier, & 

 parce que le côté pair du premier eft auffi fuppofé être un 

 quarré , & que ce côté pair eft le double produit des deux Prop. 10. 

 nombres générateurs du premier triangle : l'un de ces 

 nombres générateurs feroit un quarré , & l'autre un dou- supp. n. 

 ble quarré , puifqu'ils doivent être premiers entr'eux. 

 Or ces mêmes nombres font l'hypotenufe & le côté pair ''rop- 34. 

 du deuxième triangle : donc ce fécond triangle qui doit 

 être primitif, auroit un quarré pour fon hypotenufe , Se 

 un double quarré pour fon côté pair : puifque l'hypote- Prop. m; 

 nufe étant un impair _, ne peut être un double quarré , 

 d'où il s'enfuivroit que l'hypotenufe de ce fécond triangle 

 ièroit la fomme de deux quarrez quarrez : & parce que Prcp. 3 y. 



