43 o Second Problème. 

 gee au poinc 8. Il faut de plus continuer les lignes H B & 

 H A qui rencontrent la même M N prolongée en 7 & 6 , & 

 faire inégale a IF;, puis raifonner en cette lorte. D'autant 

 queAVeftégalaVH&BX a XH ; la ligne AH fera a 



V H comme BH a X H ; & partant V X fera parallèle a 

 ABi& IH fera a H 9, comme BHaHX. MaisBHeft 

 double de HX, donc IHferaauffi double de H 9. Dere- 

 chef E H étant a H F comme E I a I F , en compofant , per- 

 mutant , & changeant E S fera a E F comme I F effc a H F. 

 De plus , E H étant a H F comme E I a I F , en permutant 

 & changeant E I fera a E H comme I F a H F 5 Et partant E I 

 eft à E H comme E â a E F , & par converfion de railon E I 

 fera a 1 H comme E ô a F 8 , & en divifant E H a I H comme 

 E F a 6 F i Et partant E H a la moitié de I H , c'eft- a-dire , 

 H 9 , comme E F a la moitié de ô F ; c'eft-a-dire , IF , & en 

 compofint E 9 a H 9 comme E I a I F. Mais comme E I 

 efta I F , ainfi E H a H F j Donc E 9 iéra a H 9 comme E H 

 eftaHFj & en permutant, ôcpar converflon de raifon, 

 E 9 fera a H 9 comme H 9 a F 9 . 



Or parce que dans les triangles femblables E V 9 j Y V 8 

 comme E 9 ell a H 9 , ainfi Y 8 eft a 8 6 , & dans les trian- 

 gles femblables aH X 9, 7X8, comme H 9 eft a F 9 ,ain- 

 fi 78 efta Y 8 jil s'enfuit que la ligne 78 efta Y 8 comme 



Y 8 a 8 6 , & en la même raifon queE 9 a H 9 3 Mais com- 

 me 78 efta Y 8 , ainfi 7 Y efta Y 6 , & comme E 9 a H 9 , 

 ainfi EH ou fon égale z Y eft a H F, ou fon égale Y R ; il 

 s'enfuit donc que 7 Y efta Y 6 comme 2 Y efta Y R , & 

 partant que le redangle des extrêmes 7 Y R eft égal au 

 redangle des moyennes 6 Y 1. 



Maintenant j parce que ^ Y efta HY comme H Y eft a 



5 Y, par converiion de raifon^ Y fera a ^H comme Y Ha 

 H S ; Mais commet Y eft a {H, ainfi M Y efta HF ou a ion 

 égale Y R ; & comme Y H eft à H S , ainfi 7 Y eft à B S ou 

 à ion égale Y P ; Donc M Y fera à Y R comme 7 Y à YPj 



6 partant le redangle des extrêmes M Y P eft égal au 

 yedangle des moyennes 7 Y R. 



