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 la. ligne A C en 3 , & joindre les points Y & 3 . Semblable- 

 menc du point F il faut niener F L parallèle à B H , & qui 

 coupe la même Y H prolongée en L , d'où par le point X 

 il faut tirer une ligne L X Ô , qui rencontre B D prolon. 

 g;ée en O , &: joindre les points Y & O ^ & enfin tirer les 

 lignes A^ & B S parallèles à EF, & continuer M N de 

 part & d'autre^ afin qu'elle coupe les lignes H B , H A pro- 

 longées aux points 7 & 6 , & tirer la ligne V X indéfini- 

 ment de part Se d'autre , afin qu'elle coupe E I au point 9 

 ScMNaupointS. 



Cela fait, je raifonne en cette manière. D'autant que 

 L F eft parallèle à B H, & B X eft égale à H X, la ligne L F 

 fera à H X, c'eft-à-dire , L Y à Y H , comme la même L F 

 à B X ^ c'eft-à-dire , comme L O à O X j & par converfioii 

 de raifon L Y fera à L H comme L O à L X ; & partant 

 dans le triangle L Y O , la bafe O Y fera parallèle à la ligne 

 H X ou L F : Donc au triangle Y ^ O , la ligne Y O fera à 

 L F comme ^ Y à ^ L ; & aux triangles femblables Y X O , 

 L X F, la même Y O fera à la même L F comme Y X à X F, 

 ou comme Y H à H L : Et partant ^Y fera à ^L comme 

 Y H à H L ; & en permutant , ^Y à H Y comme ^L à H L, 

 Mais^YeftàHYcomme^MàMF,&^LàHLcomme 

 tF à F B ; Donc $'M eft à M F comme ^F à FB -, & en permu- 

 tant, & par converfion de raifon ^ M eft à M F comme M F 

 à MB. Mais comme ^M eft à M F,ainfi( YeftàH Y ,& 

 MFeftàMB,ainfiHYàYS:Donc^YeftàHYcomme 

 H Yà Y S^ c'eft-à-dire, que H Y eft moyenne Géométri- 

 que entre les deux «TY & Y S : Mais la ligne Y T eft égale 

 à Y H par la conftrudion ; & partant la toute ^T eft divi- 

 fée Harmoniquement aux points H & S , & la ligne ^S eft 

 moyenne Harmonique entre les deux (T ^H.,èc la ligne 

 ^Y moyenne Arithmétique entre les mêmes. 



Par même raifonnement^& par le moyen de la ligne 

 E 5 nous démontrerons que la ligne H Y eft aulFi moyen- 

 ne Géométrique entre les deux X Y & Y ^Z- : & que la toute 



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