44(5 SicoND Problème 



enfin mener A 4^ , & B S parallèles à E F ou M N , & conti- 

 nuer M N de parc 6c d'autre jufqu'à ce qu'elle coupe les 

 lignes A H , B H prolongées aux points 6 & 7 , & tirer la 

 ligne V X , en forte qu'elle coupe E I au point 9 , ô: M N 

 au point 8. 



Cela fait, je raifonne en cette manière. Parce que H X 

 eft égale à B X , la ligne L F aura même raifon à Tune iC 

 l'autre -, c'eft-à-dire , qu'au triangle H Y X , la ligne L F 

 fera à H X comme L Y à Y H ; ôc au triangle X O B , L F 

 fera à B X comme L O à O X j 8c partant L Y fera à Y H 

 comme L O à O X j 6c en diviHint & permutant , L Y à 

 L O comme LH à L X : Donc les triangles O L Y, H LX 

 ferontfcmblables,&labafeO Y parallèle àHX ou LF. 

 Etparconféquent aux triangles lèmblablesO^Y, L^F, 

 la ligne O Y eft à L F comme Y ^à^L;èc dans les triangles 

 femblables O X Y , LXF , la même O Y eft à la même LF 

 comme O X à X L 5 Se partant f Y eft à C L comme O X à 

 X L , c'eft-à-dire , comme Y Fi à H L ^ & en permutant , 

 f Y eft à Y H comme ^L à H L ; Mais comme ^Y à Y H , 

 ainfi CM à M F , & comme { L à H L , ainfi ^F à F B : Donc 

 ^ M eft à M F , comme CF à F B ; & en permutant , chan- 

 geant, compofantj&cliangeant CMferaà MF, ( c'eft à- 

 dire , CY à Y H , ) comme M F à M B , c'eft-à-dire , Y H à 

 Y S. Voilà donc la ligne Y H moyenne Géométrique en- 

 tre les deux ^Y &i.Y S; mais la ligne Y T a été prife égale 

 à la même Y H : Donc la toute T S fera divifée Harmoni- 

 quement aux points H&^; & la ligne ^ S fera moyenne 

 Harmonique entre les deux TSôcSHj&SY moyenne 

 Arithmétique entre les mêmes. 



Par même raifonnement , & par le moyen de la ligne 

 E5 nous démontrerons que la même Y H fera auffi moyen- 

 ne Géométrique entre les deux ;^ Y ÔCvI'Yi & que la toute 

 T vl' eft divifée Harmoniquement aux deux points H & ;^ , 

 & la ligne 'l'Z moyenne Flarmonique entre les deux Ix]/ èc 

 4- H 5 & 4. Y moyenne Arithmétique entre les mêmes. 



