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ANALYSE MATHÉKiATiQUK. — iVb^e sur la formation des fonctions alternées 

 qui servent à résoudre le problème de l'élimination,- par M. Augustin 

 Cauchï. 



« L'équation finale, produite par l'élimination de plusieurs variables 

 entre des équations linéaires, et présentée sous la forme la plus simple, 

 A pour premier membre une fonction alternée. On peut même en dire au- 

 tant de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une seule variable 

 entre deux équations algébriques de degrés quelconques, puisque les mé- 

 tbodes de Bezout et d'Euler réduisent ce dernier problème au premier. Il 

 unporte donc de parvenir à former aisément les fonctions alternées. Telle 

 est la question dont nous allons nous occuper. 



» Considérons, pour fixer les idées, la fonction alternée qui, égalée à 

 zéro, produit l'équation finale, résultante de l'élimination de x entre n 

 équations linéaires de la forme 



Ao.o or 4- A-o, . 7 + . . . 4- A„, fl_. M 4- V .-. ^ = O' 

 A,.o x+A,., 7 + ... -H A,,„_ M + A,,„_. V =■ 



o. 



An-., o "^ ">" A„_,^ , y -\- . 



An_i,o .^ "1" A„_,_ , y -p . . 



+ A„_,, „_, u + A„_,, „_, t» = o, 

 + A„_,,„_, u + A„_,,„_, V = o. 



Pour obtenir cette fonction alternée que nous appellerons S, on disposera 

 d'abord en carré sur n lignes horizontales, et sur autant de lignes verti- 

 cales, les coefficients que contiennent les équations linéaires données, 

 comme on le voit ici 



**o, 0) *^o, I) . . "î ^o, «— »» **-o, n— I 1 

 ■**■!, o» **-i, I ? . • • 5 ^», n— »? -^1. n— I 1 



■^n— •, 0) ^«— •, I) . • '5 **-n— •,«—»? ^n—m, n— i f 



À A A A • 



■^n— i,o ) "n— I, Il ' ' • 5 "-n—if n— »l ^*n— i, n— i i 



puis on cherchera tous les produits que l'on peut former, en combinant 

 ces coefficients n n n, de manière que les n facteurs de chaque produit 

 ippartieunent tous à des lignes horizontales différentes et à des lignes ver- 

 ticales différentes. Les produits, formés, comme on vient de le dire, se 

 réduiront à celui dont lei facteurs sont les coefficients situés sur l'une 



