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aires des polygones réguliers isopérimètres croissent avec le nombre de leurs 

 côtés. La démonstration reste la même pour les polygones réguliers sphé- 

 riques, auxquels ce théorème n'avait pas encore été étendu jusqu'ici. 



1. [I. Je donne les conditions à remplir pour obtenir le maximum d'aire 

 (Tniie figure dont le périmètre est composé des parties suivantes: 



» I ". D'un nombre quelconque n de droites données de longueur; 



» 2°. Des côtés indéterminés de m angles donnés, dont la somme est plus 

 grande que (m — 2) tt ; 



I. ■3". De lignes de forme et de longueur arbitraires, dont le nombre est 

 compris entre i et n -^- m. 



» On suppose, en outre, que le périmètre total soil donné de longueur, et 

 que la figure soit comprise dans chacun des m angles donnes. Ce théo- 

 rème renferme un grand nombre de cas particuliers, que l'on obtient en 

 définissant plus exactement les éléments donnés, en faisant disparaître les 

 angles ou les droites données, etc. Tout ceci s'applique également aux fi- 

 gures sphériques. 



j, m. Tendre un fd flexible , de longueur donnée , autour d'un polygone 

 convexe donné , de manière qu'il passe par tous les sommets, et qu'il com- 

 prenne une aire maxima. 



« De même, sur la sphère : Tracer les frotitières d'un pays, qui doi- 

 vent passer par certains points donnés, et dont la longueur est également 

 donnée , de manière à rendre l'espace compris le plus grand possible. 



» IV. j4 un polygone donné P, inscrire une Jigure V, de périmètre donné 

 et (taire maxima, sous la condition qu'elle ait avec chacun des côtés du 

 polygone ou un point ou une partie commune. 



<■ Le même problème est résolu pour le cas où le polygone donné n'est 

 pas rectiligne , mais composé de m courbes arbitraires. 



» V. Un nombre arbitraire de courbes, ou un polygone curviligne P, 

 étant doimé sur une surface quelconque S, inscrivons-lui une figure F, de 

 péninètre donné et d'aire maxima, qui ait, avec chacun des côtés du poly- 

 gone, ou un point commun ou une partie commune : cette fii^ure aura les 

 propriétés caractéristiques suivantes : 



» 1°. Si Von construit la surface développnble tangente à la surjace S 

 suivant une des parties du périmètre de la figure F qui joignent deux côtés 

 consécutifs de P , cette partie deviendra un arc de cercle dans le développe- 

 ment de la surface; 



» 2°. Tous les arcs que l'on obtient ainsi seront de même rayon; 



)) 3". Enfin les deux lignes qui Jont partie du périmètre de? et qui ren- 



