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 contrent un même côté de P, ou le rencontreront au même point et sous des 

 angles égaux, ou lui seront tangentes en deux points différents. 



» VI. Entre tous les polygones inscriptibles à un poljgone donné P, 

 déterminer celui qui a le périmètre minimum. 



« On y parvient par les considérations suivantes : 



» (A). Soit donné un polygone A, A, A3. . .A„ = P d'un nombre pair 

 m=zin de côtés. D'un point quelconques, pris sur le premier côté A, A,, 

 faisons partir un rayon de lumière sous un angle arbitraire a; supposons 

 qu'il subisse sur le second côté ou une réflexion ou une réfraction , telle 

 que le rayon réfracté se propage suivant la même droite que le rayon ré- 

 fléchi, mais en sens contraire; la même chose se reproduira sur le troi- 

 sième, sur le quatrième côté, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le rayon 

 soit enfin rejeté du dernier côté A„A, sur un point b du premier côté, avec 

 lequel il formera l'angle /3; prenons maintenant ce point b pour point de 

 départ; le rayon sera encore réfléchi ou réfracté au point b lui-même, 

 puis sur tous les autres côtés, et il reviendra une seconde fois sur le 

 côté A, A,, qu'il rencontrera dans im point c et sous un angle y, etc. 

 Alors les lois suivantes ont lieu : 



» i". On a toujours 



« — /3=(A,-^.\,-f-...H-A.„_,) — (A.-t-A^-l-. ..-4-A„) = M. 



» 1°. Si la différence u est commensurable avec tt, le rayon de lumière 

 revietidra, après un certain nombre de circuits, en un point t du premier 

 côté, en faisant avec ce côté, un angle r égal à l'angle de départ a. . 



)i Si a, veste cofistant tandis que le point a cliange de position, la droite at 

 reste de même longueur, et le chemin parcouru est constant, pourvu qu'on 

 change le signe de chaque rayon réfracté. 



» 3°. Soit la somme des angles à indices pairs du polygone P, égale à la 

 somme de ses angles à indices impairs; on aura, 



» I ". a = ê , c'est-à-dire que le rayon se retrouve, après un seul circuit, 

 sous le même angle sous lequel il est parti; 



n 1°. Si le point a change de position sans que la grandeur de l'angle a. 

 varie, le chemin du rayon et la distance des deux points a et b, restent 

 constants; 



r> 3°. Quelle que soit la position du point a , il y a toujours un angle 

 correspondant a. , tel que b tombe sur a ; le rayon décrit donc toujours un 



