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calcul progressif, qui procède graduellement à travers le système jusqu'au 

 nombre total de surfaces, ou de lentilles, dont il est composé. 



» Dans le volume imprimé que j'ai offert dernièrement à l'Académie, et 

 dans les feuilles manuscrites qui en sont la suite, j'avais formé ainsi les 

 exoressioiis des quatre coefficients généraux pour autant de surfaces, ou 

 de lentilles, que je pouvais avoir besoin d'en considérer dans les applica- 

 tions. Mais c'était toujours une restriction analytique fâcheuse que de ne 

 pouvoir étendre ces expressions à des nombres de surfaces ou de lentilles 

 plus considérables, autrement que par la continuation ultérieure du même 

 calcul, qui devient alors de plus en plus pénible, à cause du nombre 

 croissant de fermes qui composent les coefficients cherchés. 



» Je viens heureusement de parvenir à éluder cette difficulté au moyen 

 d'im procédé analytique de formation directe, qui supplée complètement 

 à l'intégrale explicite; et comme le même artifice pourrait n'être pas inu- 

 tile dans d'autres occasions, je prie l'Académie de permettre que j'indique 

 ici brièvement en quoi il consiste. 



» Lagrange, dans son Mémoire de 1778, avait montré que deux des 

 coefficients seulement ont besoin d'être formés par le calcul successif; les 

 deux autres pouvant se déduire de ceux-là par de simples différentiations, 

 quand on les a obtenus. J'ai d'abord généralisé ce résultat, en prouvant 

 qiit! le même mode de déduction peut être appliqué à trois des coefficients 

 au lieu de deux; en sorte qu'on les obtient tous les trois par ce procédé, 

 quand on connaît seulement le quatrième, qui est nécessairement le plus 

 complexe. 



Il Or, en considérant les cinq premières formes cjue prend celui-ci, pour 

 les systèmes optiques où les surfaces agissantes sont d'abord introduites 

 isolément, sans aucune relation entre elles, le nombre total des termes 

 qu'il doit contenir, dans le cas général, se présente avec évidence; et ces 

 termes, tous irréductibles entre eux, se classent naturellement en diffé- 

 rents ordres, dont la loi de formation individuelle se reconnaît avec une 

 extrême facilité. Ainsi, pour chaque nombre donné de surfaces, on peut, 

 d'après ces deux règles, écrire immédiatement tous les termes de chaque 

 ordre, et tous les systèmes de termes de différents ordres, qui doivent 

 composer le coefficient générateur duquel on déduit ensuite les trois au- 

 tres par de simples différentiations. Si l'on applique ce mode de formation 

 direct, aux systèmes dont le nombre de surfaces n'excède pas cinq, on 

 retrouve naturellement pour chaque cas, des expressions des quatre coef- 

 ficients, identiques à celles que j'ai rapportées à la page 423 du volume 



