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 néaire donnée, les coefficients de toutes les inconnues sont des quantités 

 de même signe. Alors la question se réduit à décomposer un nombre en- 

 tier donné en parties égales ou inégales, dont chacune soit un terme 

 d'une suite finie donnée. Cette question se reproduit dans diverses cir- 

 constances, par exemple, quand on se propose de développer les puis- 

 sances d'un polynôme qui renferme un nombre fini ou infini de termes, 

 de déterminer les sommes des puissances semblables des racines d'une 

 équation algébrique ou transcendante, ou de calculer les nombres de 

 Bernoulli. Dans ces cas, et dans plusieurs autres, le coefficient de l'une 

 des inconnues se réduit à l'unité, ce qui permet de résoudre assez facile- 

 ment la question, en commençant par fixer la valeur de l'inconnue dont 

 le coefficient est le plus grand. Au reste, j'indiquerai un moyeu facile de 

 résoudre, dans tous les cas, les questions de ce ^enre, et même de les ré- 

 duire à de simples soustractions. 



§ I". Relations qui existent entre les coeffldents d'une équation algébrique et les 

 sommes des puissances semblables de ses racines. Formules singulières déduites 

 de ces mêmes relations. 



» Soit m un nombre entier quelconque. On aura, comme l'on saàt, 



(i) (x -h jr + z.-O" = 2{a, b, <:,...).x'*j'^2',..., 



la sommation que le signe 2 indique s'étendant à toutes les valeurs en- 

 tières, nulles ou positives, de a, b, c, . . qui vérifient la condition 



a + b-j-c-f- ... =z m, 



et le nombre entier que représente l'expression (a, b , c, . . .) étant déter- 

 miné par la formule 



(a, b, c,.. .) = 



1.2. . . m 



(i .2. . .a) (i .2. . b)(i .2. . .c). . . ' 



OÙ l'on doit omettre, dans le second membre, celles des quantités a, b, 

 c , , . . qui se réduiraient à zéro ; en sorte qu'on trouvera, par exemple , en 

 supposant 



a. =z m, b = c^...=o. 



1 2. . .m 



(a, b, c,...) = (m, o, o,. ..) = ^ ^" [^ = i. 



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