( 707 ^ 



posé, pour vérifier l'exactitude de la proposition ci-dessus énoncée, il suf- 

 fira d'observer que le facteur 



/ = a-|-2b-+-...-|-(M — i)hr+-/zk 



est précisément de la forme indiquée. Ajoutons que le plus grand commun 

 diviseur des nombres 



a, b, c,..., 



est de la même forme. On peut donc énoncer encore la proposition sui- 

 vante. 



» i" Théorème. Soit m la somme des nombres 



a, b, c,.. . 



et a leur plus grand commun diviseur. Le produit 



«(a, b, c,...) 



sera toujours divisible par m. 



» Corollaire 1". Dans le développement de 



(^ +jr + 2 + ■■■}", 



le coefficient numérique M d'un terme quelconque sera divisible par m ., 

 si aucun entier ne divise les exposants de toutes les variables dans ce 

 terme. Dans le cas contraire, le plus grand commun diviseur m de ces 

 exposants rendra le produit ceM divisible par m. Ainsi, par exemple, dans 

 le développement de • 



■ 'a:+j-^zy, 



le plus grand commun diviseur 3 des exposants 3 et 6, dans le terme 



(3, 6)xy, 

 rendra le produit 



3 X (3, 6) = 3.84 

 divisible par 9. 



» Corollaire 2'. Le plus grand commun diviseur co des nombres 



a, b, c,... 



devant diviser leur somme m , il en résulte que , dans le développement de 



(x ■+■ j + z +...)■", 



06.. 



