( 8o4 ) 



»2. Ces démonstrations pourraient entrer tacilerncnt dans nos ouvrages 

 élémentaires, et parla contribuer, bien plus qu'on ne l'imagine, aux véri- 

 tables progrès de la science. Car si la théorie des nombres est encore peu 

 avancée, malgré les effortsdes plus grands géomètres, ce n'est point unique- 

 ment à la difficulté propre tle la matière qu'on doit attribuer la lenteur de 

 ces progrès: elle tient peut-être encore plus à cette espèce d'isolement et 

 d'abandon où l'on a laissé jusqu'ici cette première partie de nos études ma- 

 thématiques. Il faut observer que la théorie des nombres est tout-à-fait né- 

 gligée dans nos éléments, et que l'esprit ne s'y exerçant pas d'assez bonne 

 heure, n'est peut-être plus capable de s'en rendre ensuite les principes 

 assez familiers. Les anciens y donnaient plus de soin dans leurs ouvrages ; 

 on dirait qu'ils en avaient mieux senti l'importance, et leurs livres, à cet 

 égard, ont encore de l'avantage sur les nôtres. Mais depuis long-temps il 

 semble que les auteurs aient regardé la théorie des nombres conuneune spé- 

 culation singulière, qui ne se lie à rien ni dansl'Analyse ni dans laGéométrie, 

 et qui n'offre ainsi à l'esprit que des vérités plus curieuses qu'utiles. .\ peine 

 en trouve-t-on quelques traces dans les traités oi'dinaires d'Arithmétique et 

 d'Algèbre. Et cependant, pour peu qu'on y veuille réfléchir, il est aisé de 

 voirque cette arithmétique transcendante est comme le principe et la source 

 de l'algèbre proprement dite. C'est une vérité qu'on pourrait établir parle 

 l'aisonnement, comme je le montrerai tout-à-l'heure , mais qu'on peut aussi 

 prouver en quelque sorte par l'expérience. Car, observez que ce peu qu'on 

 ajoute de temps à autre à l'algèbre vient du peu qu'on découvre par inter- 

 valles dans la science des propriétés des nombres. On en a surtout un bel 

 exemple dans cet heureux rapprochement qui a fait connaître à M. Gauss la 

 résolution algébrique des équations binômes de tous les degrés, et la nature 

 des nombres premiers par lesquels on peut diviser régulièrement lecercleau 

 moyen de la règle et du compas. C'est un pas inattenilu et bien remarquable, 

 que la théorie des nombres a fait faire à la fois à l'algèbre et à la géométrie. 

 L'algèbre, à son tour, |)ar ses signes, et la géométrie même par ses figures, 

 peuvent s'appliquer aussi heureusement à la théorie des nombres, y faire 

 éclore de nouvelles idées et de uouveaux théorèmes, indiquer de nouvelles 

 routes dans la science, et nous apprendre enfin quelque chose sur l'art en- 

 core inconnu de nous y conduire. C'est ce que j'ai tâché de montier d'iaie 

 manière assez frappante , dans un Mémoire étendu où j'ai donné lepremiei- 

 essai de cette singulière application, et où l'on a vu les imaginaii'es mêmes 

 servira la représentation analytique de certains nombres dont la loi nous 

 était entièrement inconnue. 



