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 » D'autre part, si n est un nombre premier, on aura, d'après un théo 

 rème connu de Eermat, 



(5) ni*~' ^ I, (mod. «), 



par (Conséquent 



— ^ m"~', (mod. n). 



1 ' ' Il - 



Donc alors m'~* sera une des valeurs de x propres a vérifier I equiva 

 lence (4); de sorte qu'on résoudra cette équivalence en posant 



(6) n ^ OT"~% (mod. n). 



Telle est la conclusion très simple à laquelle M. Libri et M. Binet sont 

 parvenus pour le cas où le module n est un nombre premier. Pour étendre 

 cette même solution à tous les cas possibles, il suffirait de substituer au 

 théorème de Fermât le théorème d'Euler suivant lequel , n étant un mo- 

 dule quelconque, et in un entier premier à n, on aura généralement 



(7) m^ ^ I, (mod. n), 



si l'exposant N renferme autant d'unités qu'il y a de nombres entiers in- 

 férieurs à « et premiers à «(*). En effetr, l'équation (7) étant admise, on 

 en conclura 



— ^ m^-^ , (mod. «); 



(*) M. Poinsot nous a dit avoir remis autrefois à M. Legendre une Note manuscrite 

 dans laquelle il avait ainsi étendu à des modules quelconques la solution présentée par 

 M. Binet, et relative au cas oui N est un nombre premier. Dan cette même Note, 

 M. Poinsot donnait du théorème d'Euler la démonstration suivante, analogue à celle 

 qui, dans le Mémoire de M. Binet, se trouve appliquée au théorème de Fermât. 



Soient 



I , a, 6, c, . . . 



la suite des entiers inférieurs à n, mais premiers à n ; N le nombre de ces entiers, et m 

 l'un quelconque d'entre eux. La suite 



m, am, hm, cm, . . . 



