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 et, par conséquent, 



sera l'une des valeurs de a: propres à vérifier l'équivalence (4), de sorte 

 qu'on résoudra cette équivalence en prenant 



(8) X = mN-', (mod. n). 



« L'équivalence (4), étant résolue comme on vient de le dire, entraî- 

 nera la résolution de l'équivalence (3) qui coïncide avec l'équation (a), et 

 par suite, la résolution de l'équation (i), dans le cas où le plus grand 

 commun diviseur de a et de i divisera k. On résoudra, en particulier, l'é- 

 quivalence (3) en prenant 



(g) X ^ dz m^-'l, (mod. n). 



» En résumé, l'on pourra énoncer la proposition suivante. 

 » i" Théorème, a, b, k désignant trois quantités entières, on pourra 

 résoudre en nombres entiers l'équation indéterminée 



(i) ax + bjr = k, 



si le plus grand commun diviseur de a et de è divise k. Supposons d'ailleurs 

 qu'en divisant a, b, c par ce plus grand commun diviseur, et changeant 

 s'il est nécessaire les signes de tous les termes de l'équation ainsi obtenue, 

 on la réduise à la suivante 



(2) mx zt: nj = do l, 



se composera encore de termes, premiers à n, mais qui, divisés par n, doriueront des 

 restes différents. Donc chaque terme de la seconde suile sera équivalent, suivant le 

 module n, à un seul terme de la première, et l'on aura 



I .a.b.c. . . =^ m.am.bm.cm. . . ^ i.a.b.c. . . m , (mod. n), 

 ou, ce qui revient au même, 



i.a.b.c . . (m — 1)^0, (mod. n), 

 puis on en conclura 



m^ — 1^0, ou m^ ^ I, (mod. n). 



