( 822 ) 



" Corollaire. Lorsque le module n se réduit au nombre 2, ou plus gé' 

 iiéralement à une puissance 2^ de ce même nombre, la valeur de N, en 

 vertu de la formule (10), ou (i i), se réduit à l'unité ou plus généralement 

 A 2^ — ', en sorte qu'on a 



N = 2="-' = in. 



<> Revenons maintenant au premier théorème. On peut évidemment, 

 dans ce théorème et dans les formules (8), (g), remplacer le nombre N 

 des entiers inférieurs au module «, mais premiers à n, par l'une quel- 

 conque des valeurs de / pour lesquelles se vérifie l'équivalence 



fi5) m' ^ I, (mod. n). 



Or parmi ces valeurs il en existe une, inférieure à toutes les autres, et qui 

 pour ce motif doit être employée de préférence. D'ailleurs cette valeur 

 particulière de i jouit de propriétés remarquables qui peuvent servir à la 

 faire reconnaître et calculer. Entrons à ce sujet dans quelques détails. 



M Les nombres entiers m, n étant supposés premiers entre eux, l'unité 

 sera certainement, dans la progression géométrique 



I, ;m, 77<' , m^ , . . . , 



le premier terme qui se trouve équivalent, selon le module n, à l'un des 

 termes suivants. En effet, une équivalence de la forme 



m) ^ m'"*"', (mod. n), 



dans laquelle 1 et i seraient entiers et positifs, entraînera nécessairement 

 une autre équivalence de la forme 



i ^ m' , (mod. n), 



dans laquelle le terme m' de la progression se trouverait remplacé par 

 l'unité. Ajoutons que, si /«' représente la moins élevée des puissances en- 

 tières et positives de ni, équivalentes à l'unité suivant le module «, le reste 

 que l'on obtiendra en divisant par n les termes de la progression 



i , w , m', in^j . . ., 

 formeront une suite périodique, dans laquelle les / premiers termes seront 



